Question

【題目】電荷線密度分別為常量和的兩根無限長平行帶電直線相距2a，試求等勢面和電場線的空間分布．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設置Oxye坐標系，使兩帶電直線分別位于，，且與z軸平行。由對稱只需討論如圖所示xOy坐標面中的等勢線和電場線分布即可．

取，點為電勢零點，則xOy坐標面上任一點的電勢為

等勢線要求常量（不同等勢線對應的U不同），

引入不定常量性參量：，則等勢線方程為

，

或． ①

也可表示為 ②

可見，等勢線是一系列以為圓心、以為半徑的圓．U取不同值時，為不同的常量．時，，圓在右半平面；時，，圓退化為y軸直線；時，，圓在左半平面。xOy坐標平面上的等勢線如圖中實線圓所示，在全空間，等勢面是一系列的圓柱面，其母線與x軸平行，其截面為上述各個圓．

在任一點，等勢線切線斜率為，等勢線的法線斜率為．因電場線與等勢線垂直，故在點，電場線的切線斜率等于該點等勢線的法線斜率，即

由②式得

再由①式解出，代入上式，得

． ③

繼而有

或 ④

本來可為微分方程④式去尋找對應的原函數(shù)（即電場線方程），但將④式與③式作一比較，發(fā)現(xiàn)兩者數(shù)學結構相同，即只要將④式中x與y互換，再將換成，即成③式．③式的原函數(shù)解是含有不定常量的等勢線方程①式，故只需將①式中的x與y互換，再將換成，就可以得到④式對應的原函數(shù)，即也包含一個不定常量的電場線方程，與并非微分方程③與④式中包含的量，考慮到③式對應的是等勢線，④式對應的是電場線，兩者物理內(nèi)容不同，與未必相同也是自然的，于是④式對應的電場線方程通解可表述為

⑤

也可等效改述為

⑥

對⑤式和⑥式求導即可驗證它們與④式相符，由⑥式可見，在xOy平面內(nèi)，電場線是以為圓心，以為半徑的一系列圓弧，這些圓弧都通過點和點，如圖中虛線所示。需要注意的是，圖中每條虛線所示整圓，并非代表一條電場線，而是由兩整條電場線連接而成的．