Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=k﹣|x﹣3|，k∈R，且f（x+3）≥0的解集為[﹣1，1]． （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若a、b、c是正實(shí)數(shù)，且 ，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x+3）≥0的解集為[﹣1，1]，即為

|x|≤k的解集為[﹣1，1]，（k＞0），

即有[﹣k，k]=[﹣1，1]，

解得k=1；

（Ⅱ）證明：將k=1代入可得，

+ + =1（a，b，c＞0），

則a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ）=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）

≥3+2 +2 +2 =3+2+2+2=9，

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c，上式取得等號(hào)．

則有 ．

【解析】（Ⅰ）由題意可得|x|≤k的解集為[﹣1，1]，（k＞0），由絕對(duì)值不等式的解法，即可求得k=1；（Ⅱ）將k=1代入，再由乘1法，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（ + + ），展開運(yùn)用基本不等式即可得證．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)，以及對(duì)二維形式的柯西不等式的理解，了解二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．