Question

【題目】豎直平面上有一半徑為R的固定光滑大圓環(huán)，環(huán)上套的小珠從最低處以水平初速度向上運(yùn)動(dòng)，則可知當(dāng)時(shí)，小珠可到達(dá)環(huán)的最高點(diǎn)。今將一小珠套在半徑為R的水平光滑大圓環(huán)上，環(huán)繞著過其邊緣點(diǎn)A的固定豎直軸，以角速度沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)。開始時(shí)小珠在A的對(duì)徑點(diǎn)上，沿著逆時(shí)針方向相對(duì)環(huán)以初速度運(yùn)動(dòng)，試問取何值時(shí)小珠能到達(dá)A點(diǎn)？

Answer 1

【答案】時(shí)，小珠能到達(dá)A點(diǎn)

【解析】

如圖所示，在大環(huán)參考系中，小珠受環(huán)的法向支持力N和虛擬的（科里奧利力）、（慣性離心力）。N與均與小珠相對(duì)環(huán)的速度v垂直，無切向分量，有切向分量。由圖示參量，有

，，，式中m為小珠質(zhì)量，得，方向與v反向。

此力使小珠產(chǎn)生與v反向的加速度，有。

阻礙小珠向A的運(yùn)動(dòng)，僅當(dāng)大到一定值方能到達(dá)A點(diǎn)。

聯(lián)系到題目開始時(shí)給出的背景知識(shí)，小珠從R環(huán)最低點(diǎn)以初速度爬高，也因有切向加速度阻礙而減速，僅當(dāng)時(shí)，方能到達(dá)A點(diǎn)。容易由重力的切向分量算得

。

數(shù)學(xué)上將類比為g，即可得本題中小珠初速度時(shí)，小珠能到達(dá)A點(diǎn)。