Question

【題目】如圖所示，屋架由同一豎直面內(nèi)的多根無(wú)重桿絞接而成，各絞接點(diǎn)依次為1，2，…，9，其中，絞接點(diǎn)8、2、5、7、9位于同一水平直線上，且9可以無(wú)摩擦地水平滑動(dòng)。各絞接點(diǎn)間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點(diǎn)3承受由豎直向下的壓力，點(diǎn)1承受有豎直向下的壓力，求鉸接點(diǎn)3和4間桿的內(nèi)力.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖甲所示,屋架由同一豎直面內(nèi)的多根無(wú)重桿鉸接而成,各鉸接點(diǎn)依次為,其中,鉸接點(diǎn)位于同一水平直線上,且9可以無(wú)摩擦地水平滑動(dòng).各鉸接點(diǎn)間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖甲所示,鉸接點(diǎn)3承受有豎直向下的壓力,點(diǎn)1承受有豎直向下的壓力,求鉸接點(diǎn)3和4間桿的內(nèi)力。

方法1：由于點(diǎn)9可沿水平方向無(wú)摩擦滑動(dòng),故屋架在點(diǎn)9處所受外力只可能沿豎直方向,設(shè)為.由于屋架所受外力、和均沿豎直方向,則屋架在點(diǎn)8所受的外力也只可能沿豎直方向,設(shè)其為。

以整個(gè)屋架為對(duì)象,列出各外力對(duì)支點(diǎn)8的力矩平衡方程,有

,

所以,,

的方向豎直向上。

又由整個(gè)屋架的受力平衡關(guān)系,應(yīng)有

，

所以,，

的方向豎直向上。

假設(shè)將鉸接點(diǎn)5、6、7、9這部分從整個(gè)屋架中隔離出來(lái),則這部分受到桿15、桿47、桿36的作用,這幾個(gè)作用力均沿與桿15平行的方向,設(shè)其以一個(gè)力表示,則這個(gè)力也必與桿15方向平行,此外,這部分還受到桿25的作用,設(shè)其為,顯然的方向應(yīng)沿水平方向;這部分還受到支持力的作用.這樣,這部分就等效為受、和三個(gè)力的作用而平衡.由此表示此三力的矢量構(gòu)成一個(gè)封閉三角形,由前述此三力的方向關(guān)系可以確定,這一三角形只能是如圖乙所示的三角形。

由此三角形可見(jiàn)

.

桿25對(duì)點(diǎn)5的作用力方向水平向左,可見(jiàn)桿25中的內(nèi)力為張力。

又假設(shè)取鉸接點(diǎn)8為研究對(duì)象,它受到支持力和桿82對(duì)它的作用力和桿81對(duì)它的作用力,由于此三力平衡,則與的合力必沿桿81的方向，可見(jiàn)應(yīng)有

且的方向應(yīng)水平向右,即桿82的內(nèi)力為張力

再假設(shè)取鉸接點(diǎn)2為研究對(duì)象，由以上分析知,其左、右兩水平桿對(duì)它的作用力均為拉力,其大小分別為和,而另外只有桿24能對(duì)點(diǎn)2提供水平方向的分力,則為使點(diǎn)2在水平方向受力平衡,桿24作用于點(diǎn)2的力必沿由2指向點(diǎn)4的方向,進(jìn)而為使點(diǎn)2在豎直方向上受力平衡,則桿12對(duì)點(diǎn)2的作用力必沿豎直向下的方向。

綜合上述,可得點(diǎn)2的受力如圖丙所示。

由圖知

,

故得.

即桿24中的內(nèi)力為張力,其大小為.

最后以點(diǎn)4為研究對(duì)象,它受到與之相連的三根桿的三個(gè)力的作用.此三力應(yīng)互相平衡.現(xiàn)以表示這三個(gè)力,由于的方向是確定的(桿42的內(nèi)力為張力,則必沿由點(diǎn)4指向點(diǎn)2的方向),而又只能沿對(duì)應(yīng)桿的方向,則此三力只可能取如圖丁所示的方向.由點(diǎn)4在水平方向的受力平衡,應(yīng)有

，

所以,.

由點(diǎn)4在豎直方向的平衡,應(yīng)有

.

即桿43中的內(nèi)力為張力,大小為.