Question

【題目】三個鋼球A、B、C由兩根輕質(zhì)的長為l的硬桿連結(jié)，豎立在水平面上，如圖甲所示，已知三球質(zhì)量，，距桿處有一面豎直墻。因受微小攏動，兩桿分別向兩邊滑動，使B球下降，致使C球與墻面發(fā)生碰撞。設(shè)C球與墻面碰撞前后的速度大小不變，且所有摩擦不計，各球直徑都比l小很多，求B落地瞬間三球的速度大小。

Answer 1

【答案】A、B、C三球的速度分別為：、和。

【解析】

（1）．求球碰墻前三球的位置。

視A、B、C三者為一系統(tǒng)，A、C在水平面上滑動時，只要C不與墻面相碰，則此系統(tǒng)不受水平外力作用，此系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標(biāo)不發(fā)生變化。圖乙所示為C球剛好要碰墻前三球的位置，以表示此時BC桿與水平面間的夾角，則AB桿與水平面間的夾角也為，并令BA桿上的M點(diǎn)與系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標(biāo)相同，則應(yīng)有

，

故得。 ①

由上述知M點(diǎn)的水平坐標(biāo)應(yīng)與原來三球所在的位置的水平坐標(biāo)相同，故知此刻M點(diǎn)與右側(cè)墻面的距離即為a，即M點(diǎn)與C球的水平距離為a，由此有

，

即，

由上式解得，故有。 ②

（2）求三球碰墻前的速度。

由于碰墻前M點(diǎn)的水平坐標(biāo)不變，則在A、C沿水平面滑動過程中的任何時刻，由于圖中的幾何約束，C點(diǎn)與M點(diǎn)的水平距離總等于A點(diǎn)與M點(diǎn)的水平距離的倍，可見任何時刻C點(diǎn)的水平速度大小總為A點(diǎn)水平速度大小的倍。以、、分別表示圖中三球的速度，則有

。 ③

又設(shè)沿BC方向的分量為，則由于和分別為桿BC兩端的小球速度，則此兩小球速度沿著桿方向的投影應(yīng)該相等，即span>V

。

再設(shè)沿BA方向的分量為，同上道理可得

。

注意到BA與BC兩個方向剛好互相垂直，故得的大小為

。

以②③兩式代入上式，可得

。 ④

由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有

，

解方程可得

。 ⑤

（3）求C球在剛碰墻后三球的速度。

如圖丙所示，由于C球與墻碰撞，導(dǎo)致C球的速度反向而大小不變，由于桿BC對碰撞作用力的傳遞，使B球的速度也隨之變化，這一變化的結(jié)果是：B球速度沿CB方向的分量與C球速度沿CB方向的分量相等，即

。 ⑥

由于BC桿只能傳遞沿其桿身方向的力，故B球在垂直于桿身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而發(fā)生變化，A球的速度也不因碰撞而發(fā)生變化，即其仍為。故得此時B球速度沿BA方向的分量滿足

。 ⑦

可得剛碰撞后B球速度大小為

。 ⑧

（4）求B球落地時三球的速度大小。

碰撞后，三球速度都有水平向左的分量�？梢姶撕笙到y(tǒng)質(zhì)心速度在水平方向的分量應(yīng)該方向向左，且由于此后系統(tǒng)不受水平外力，則應(yīng)維持不變。由上解得的三球速度，可得應(yīng)該滿足

。

以③⑤⑥⑦諸式代入上式可解得

。 ⑨

當(dāng)B球落地時，A、B、C三小球均在同一水平線上，它們沿水平方向的速度相等，顯然，這速度也就是系統(tǒng)質(zhì)心速度的水平分量。而B小球剛要落地時，A、C兩球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度則還有豎直分量，以表示此刻B球速度的大小。由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有

。

由此可解得

。 ⑩

綜合上述得本題答案為：當(dāng)B小球剛落地時，A、B、C三球的速度大小分別為：、和。