Question

在正三棱錐S-ABC中，外接球的表面積為36π，M，N分別是SC，BC的中點，且MN⊥AM，則此三棱錐側(cè)棱SA=（　�。�

• A、1
• B、2
• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

分析：利用球的表面積公式，算出球的半徑R=3．由題意可證出MN⊥平面SAC，可得SB⊥平面SAC，從而得出∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°．因此將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，利用正方體對角線公式即可算出SA長．

解答：解：取AC的中點E，連結(jié)BD、SE，
∵三棱錐S-ABC正棱錐，∴SA=SC，BA=BC．
又∵E為AC的中點，∴SE⊥AC且BE⊥AC
∵SE、BE是平面SBE內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面SBE，可得SB⊥AC
又∵MN是△SBC的中位線，
∴MN∥SB，可得MN⊥AC
又∵MN⊥AM且AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，結(jié)合MN∥SB，可得SB⊥平面SAC
又∵三棱錐S-ABC是正三棱錐，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
因此將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，
設(shè)球的半徑為R，可得4πR²=36π，解得R=3，
∴

3

SA=2R=6，解之得SA=2

3

故選：D

點評：本題給出正棱錐滿足的條件，求它的側(cè)棱長．著重考查了球內(nèi)接多面體的性質(zhì)、正三棱錐的性質(zhì)、線面垂直的判定定理與球的表面積公式等知識，屬于中檔題．