Question

【題目】有四種運(yùn)動(dòng)周期：

（1）靠近地面的衛(wèi)星繞行的周期；

（2）物體穿過(guò)地球直徑隧道運(yùn)動(dòng)中的振動(dòng)周期；

（3）在場(chǎng)強(qiáng)為的均勻引力場(chǎng)中，擺長(zhǎng)為地球半徑為單擺的周期；

（4）在實(shí)際的地球引力場(chǎng)中，擺長(zhǎng)為無(wú)限大的單擺的振動(dòng)周期.

試證明上述四種周期相等（約84分鐘）.

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）對(duì)于靠近地面的衛(wèi)星，有

，

所以，.

（2）物體在地球直徑隧道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在距地心處的受力為

，式中.

顯然，物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，考慮到，易得

.

（3）在場(chǎng)強(qiáng)為的均勻引力場(chǎng)中，若單擺的擺長(zhǎng)為地球半徑，擺動(dòng)位移時(shí)，其回復(fù)力由擺線(xiàn)的拉力（大小約為）提供，則回復(fù)力的大小為

.

同樣可得.

（4）在實(shí)際的地球引力場(chǎng)中，擺長(zhǎng)為無(wú)限大的單擺，在擺動(dòng)時(shí)，其回復(fù)力由指向地心的引力提供，可得回復(fù)力的大小為

，所以，.

可見(jiàn)，上述四種情況下的運(yùn)動(dòng)周期同為，代入數(shù)據(jù)可得.

本題中給出的四種背景下的運(yùn)動(dòng)周期一樣，看似巧合，實(shí)為內(nèi)洽.

另外，本題所給出的四種基本模型也是極具代表性的，它們從多個(gè)角度引導(dǎo)我們求解振動(dòng)物體的回復(fù)力，其方法都具有相應(yīng)的代表性，都有可能出現(xiàn)在其他的綜合問(wèn)題中，必須認(rèn)真分析，熟練運(yùn)用.