Question

【題目】在平面內(nèi)分布著某種透明光學(xué)材料，已知折射率分布，為點到原點的距離，在距原點處的A點有一點光源，若從此點光源發(fā)出的光在該材料中，沿以為焦點的圓錐曲線傳播，求折射率的分布規(guī)律，已知.

Answer 1

【答案】 其中

【解析】

以為原點，軸為極軸建立極坐標(biāo).將平面以極點為中心，分成一個個同心薄圓環(huán)，寬度，如圖所示，則每個圓環(huán)區(qū)城內(nèi)的折射率相同，由折射定律有

，

，

，

根據(jù)正弦定理，又有.

由以上各式可以得出，

即常數(shù)，與角動量守恒定律表達(dá)式：常矢量，有相似之處，可將類比于動量，則類比于動能.

在平方反比引力下，質(zhì)點運動的動能為.

為總能量，為常數(shù)，且.

勢能函數(shù)為（為常數(shù)），所以，.

由類比，得到（為常數(shù)）所以，.

令，而，

此時，A為半長軸，即，

其中軌跡方程為，則.

代入解得，即，其中.

本題同樣是光在非均勻介質(zhì)中的傳播，其軌跡給定為圓錐曲線，其解答是類比法的經(jīng)典之作，讀者應(yīng)認(rèn)真研究.類比思維在處理物理問題中有很高的地位，它要求問題的處理者能清醒地認(rèn)識到不同領(lǐng)域的問題間存在相同或類似的物理或數(shù)學(xué)規(guī)律，可以將我們所熟悉的方法或結(jié)論遷移到需要研究的領(lǐng)域中.這類思維方法在競賽中有著廣泛的應(yīng)用，讀者可以作相應(yīng)的歸類分析、應(yīng)用。