Question

【題目】在光滑的水平地面上有一輛車，車內(nèi)有一個人和N個鉛球，系統(tǒng)原來處于靜止?fàn)顟B(tài)�，F(xiàn)車內(nèi)的人以一定的水平速度將鉛球一個一個地向車外拋出，車子和人將獲得反沖速度。第一過程，保持每次相對地面拋球速率均為v，直到將球拋完；第二過程，保持每次相對車子拋球速率均為v，直到將球拋完。試問：哪一過程使車子獲得的速度更大？

Answer 1

【答案】第一過程使車子獲得的速度較大。

【解析】

動量守恒定律必須選取研究對象之外的第三方為參照，這意味著，本問題中不能選車子為參照。一般選地面為參考系，這樣對“第二過程”的鉛球動量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對速度與絕對速度的關(guān)系。至于“第一過程”，比較簡單：N次拋球和將N個球一次性拋出是完全等效的。

設(shè)車和人的質(zhì)量為M，每個鉛球的質(zhì)量為m。由于矢量的方向落在一條直線上，可以假定一個正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。設(shè)車速方向?yàn)檎�，且第一過程獲得的速度大小為，第二過程獲得的速度大小為。

第一過程，由于鉛球每次的動量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。

由車子、人和N個球動量守恒有

，得。 ①

第二過程，必須逐次考查鉛球與車子（人）的作用。

第一個球與（N-1）個球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為。值得注意的是，根據(jù)運(yùn)動合成法則，，鉛球?qū)Φ氐乃俣炔⒉皇?/span>，而是。它們的動量守恒方程為

，

得。

第二個球與（N-2）個球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為。它們動量守恒方程為

，

得。

第三個球與（N-3）個球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為。鉛球?qū)Φ氐乃俣仁?/span>。它們動量守恒方程為

，

得。

以此類推（過程注意：先找和關(guān)系，再看和v的關(guān)系，不要急于化簡通分），的通式已經(jīng)可以找出：

。

不難發(fā)現(xiàn)，和都有N項(xiàng)，每項(xiàng)的分子都相同，但式中每項(xiàng)的分母都比②式中的分母小，所以。結(jié)論：第一過程使車子獲得的速度較大。