Question

【題目】半徑為的剛性球固定在水平桌面上，有一個(gè)質(zhì)量為的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長(zhǎng)，，細(xì)繩圈的勁度系數(shù)為（繩伸長(zhǎng)時(shí)，繩中彈性張力為）.將繩圈從球的正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平并最后停留在某個(gè)平衡位置，如圖所示。

（1）設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)為，，忽略摩擦，考慮重力，試求勁度系數(shù)（用表示）.

（2）設(shè)，求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】

設(shè)平衡時(shí)繩圈位于球面上相應(yīng)于角的緯線上,考慮繩上的一段長(zhǎng)為的一小段,俯視圖如圖所示,這一小段的重力為,方向豎直向下.繩內(nèi)的張力大小為,所以,張力的合力大小為,方向在平面內(nèi)并指向繩圈的中心球面對(duì)這一小段的支持力,方向沿球的半徑向外,這三個(gè)力在同一個(gè)豎直平面內(nèi),將這三個(gè)力在該平面內(nèi)沿球面的徑向與法向進(jìn)行分解,可確定繩在球面上的平衡狀態(tài)。

(1)由球面經(jīng)線切向合力為零有

, （*）

式中，

解得。

(2)當(dāng)時(shí),由(*)式及相關(guān)數(shù)據(jù)可得：

,即 .

注意到,且，所以上式無(wú)解.實(shí)際上,太小時(shí),繩圈在重力作用下將滑過(guò)球體而落在桌面上,因此繩長(zhǎng)為原長(zhǎng)，即。

解答本題,至少有下面三點(diǎn)需要我們突破:

1.本題顯然是一個(gè)力的平衡問(wèn)題,選繩子整體為對(duì)象顯然不合適,而從中隔離出微元部分作為研究對(duì)象,需要我們有隔離法的思想。

2.當(dāng)以隔離出的一小段為研究對(duì)象時(shí),其所受力不在一個(gè)平面內(nèi),是空間力系,要能對(duì)其進(jìn)行降維處理,將空間力系轉(zhuǎn)換為幾個(gè)平面力系,進(jìn)而在平面力系中進(jìn)行相關(guān)的研究。

3.當(dāng)在(2)中得到無(wú)解后,要意識(shí)到繩子在球面上是不存在平衡態(tài)的,必然是繩子落地,收縮至原長(zhǎng),且最終還必須給出結(jié)果。