Question

【題目】如圖甲所示，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O，一根勁度系數(shù)為k的輕而細(xì)的彈性繩穿過(guò)小孔O，繩的一端固定于小孔正下方的A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量甲為m的小球，彈性繩自由長(zhǎng)度等于．現(xiàn)將小球沿桌面拉至B處，設(shè)，并將小球沿垂直于OB的方向以初速度沿桌面射出，試求：

（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°至C點(diǎn)所需時(shí)間；

（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度及C點(diǎn)至O點(diǎn)的距離．

Answer 1

【答案】(1) (2) ,

【解析】

在桌面上建立M如圖乙所示的xOy坐標(biāo)系．小球運(yùn)動(dòng)至r，位置時(shí)，受指向O點(diǎn)的彈性力kr，此力在x、y方向的分別為

這兩個(gè)力都是線性恢復(fù)力，所以小球在x、y方向上的分運(yùn)動(dòng)均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)角頻率同為

周期同為．

（1）小球繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°至C點(diǎn)，相當(dāng)在x、y方向上均經(jīng)過(guò)四分之一周期的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所需時(shí)間為

（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)x方向的振動(dòng)位移為零，y方向的振動(dòng)速度為零．由x和y方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)機(jī)械能各自守恒，可將C點(diǎn)的速度、坐標(biāo)分別與B點(diǎn)的坐標(biāo)、速度聯(lián)系起來(lái)，有

，

，

解得，．

順便一提，小球x、y方向的振動(dòng)振幅分別為，．

x、y方向的振動(dòng)方程為，．

小球運(yùn)動(dòng)的軌道為橢圓：．