Question

【題目】有兩把齒距不同的梳子，其中一把每厘米有4個(gè)齒，另一把每厘米有5個(gè)齒。如圖所示，今將它們重疊起來，再透過其齒間的縫隙去看亮光，則可以看到亮段和暗段交替出現(xiàn)。如果把其中的一把梳子以的速度移動(dòng)，問：亮的部位將以多大的速度移動(dòng)？

Answer 1

【答案】當(dāng)白色梳子不動(dòng)，此時(shí)亮段移動(dòng)速度方向是向右的，即亮段移動(dòng)速度方向與移動(dòng)的梳子（黑梳子）的移動(dòng)速度方向是相同的。當(dāng)黑色梳子不動(dòng)，此時(shí)亮段移動(dòng)速度方向是向左的，即亮段移動(dòng)速度方向與移動(dòng)的梳子（白梳子）的移動(dòng)速度方向是相反的。

【解析】

如圖所示,我們以黑、白兩色的梳子表示題述的兩梳子,它們重疊在一起,其中白色梳子每厘米有4個(gè)齒,黑色梳子每厘米有5個(gè)齒.圖中A處兩梳子的齒剛好重疊在一起顯然,兩梳子的齒重疊后,在A處附近透光的間隙較多.透過它去看亮光,這里就是一個(gè)“亮段”的中心,而圖中B處兩梳子的齒相互錯(cuò)開的距離最大,這里能透光的間隙就最小,故此處是一個(gè)“暗段”的中心,當(dāng)兩梳子間有相對運(yùn)動(dòng)時(shí),這些亮段和暗段會(huì)隨之移動(dòng).明顯可以看到,當(dāng)發(fā)生移動(dòng)時(shí),亮段和暗段的移動(dòng)速度是相同的.以下我們僅討論亮段的移動(dòng)速度。

(1)當(dāng)白色梳子不動(dòng),黑色梳子以速度向右移動(dòng)時(shí),設(shè)原來黑、白兩梳子的對應(yīng)兩齒剛好在A處重疊,則由于黑色梳子的移動(dòng),接著發(fā)生的便是緊鄰A處右側(cè)的那個(gè)黑色梳齒和白色梳齒重疊,這相當(dāng)于上述亮段的中心由A處移至A右側(cè)第一個(gè)白色梳齒處,由此,這段移動(dòng)的距離為白色梳子的齒距,即

.

這一過程中黑色梳子移動(dòng)的距離為黑、白兩梳子的齒距之差,即

以表示此時(shí)亮段移動(dòng)的速度,有,

所以,.

從敘述中還可以看到,此時(shí)亮段移動(dòng)速度方向是向右的,即亮段移動(dòng)速度方向與移動(dòng)的梳子(黑梳子)的移動(dòng)速度方向是相同的.

(2)當(dāng)黑色梳子不動(dòng)而白色梳子以速度向右運(yùn)動(dòng)時(shí),同樣設(shè)原來黑、白兩梳子對應(yīng)的兩齒剛好在A處重疊,則由于白梳子的移動(dòng),接著發(fā)生的便是緊鄰A處左側(cè)的那個(gè)黑色梳齒和白色梳齒相重疊.這相當(dāng)于上述亮段的中心由A處移至A左側(cè)第一個(gè)黑色梳齒處,這一過程中亮段移動(dòng)的距離為黑色梳子的齒距,即.

這一過程中白色梳子移動(dòng)的距離為黑、白兩梳子的齒距之差,即。

以表示此時(shí)亮段移動(dòng)的速度,有

，

所以,.

從敘述中還可以看到,此時(shí)亮段移動(dòng)速度方向是向左的,即亮段移動(dòng)速度方向與移動(dòng)梳子(白梳子)的移動(dòng)速度方向是相反的。

對本題,有人認(rèn)為亮段移動(dòng)的速度應(yīng)該等于梳子移動(dòng)的速度,這是因?yàn)閷α炼魏桶刀稳绾涡纬蓻]有作具體分析而想當(dāng)然的想法,正確的思路應(yīng)該是由亮段的形成機(jī)理出發(fā)來理解亮段的移動(dòng),這里值得注意的不僅是亮段移動(dòng)速度的大小與梳子移動(dòng)速度的大小不等,而且這兩個(gè)速度的方向也可能不同。

與本題描述的情景十分相似的例子是游標(biāo)卡尺的使用,當(dāng)移動(dòng)游標(biāo)卡尺的游標(biāo)尺(設(shè)其主尺不動(dòng))時(shí),游標(biāo)尺上的刻度線和主尺上的刻度線互相正對的位置也隨之移動(dòng),這個(gè)兩尺上刻度線正對的位置就相當(dāng)于本題中的亮段中心或暗段中心,其移動(dòng)速度與游標(biāo)尺的移動(dòng)速度也是不同的。