【題目】如圖所示,豎直的光滑墻面上有兩個釘子,二者處于同一水平高度,間距為,有一原長為、勁度系數(shù)為的輕橡皮筋,一端由釘固定,另一端系有一質(zhì)量為的小球,其中為重力加速度,釘子和小球都可視為質(zhì)點,小球和任何物體碰撞都是完全非彈性碰撞而且不發(fā)生粘連.現(xiàn)將小球水平向右拉伸到與釘距離為點,釘恰好處于橡皮筋下面并始終與之光滑接觸.初始時刻小球獲得大小為、方向豎直向下的速度,試確定此后小球沿豎直方向的速度為零的時刻.

【答案】

【解析】

釘為坐標原點建坐標系,如圖所示.小球在被釋放后受到本身重力和橡皮筋的彈力兩個力的作用.設(shè)小球相對于原點(即釘)的位置由位矢表示,則彈力可表示為

.

小球的運動方程為坐標系下分解為

,

.

定義方向新坐標,③式可改寫為

.

由②和④式知小球在水平和豎直方向都做簡諧振動,其振動方程可表示為

,

.

利用參考圓可得到小球速度的表達式:

,

.

將如下初始條件

,

,

代入⑤至⑧式,可解得振幅及位相.再利用,上述振動方程和速度表達式可用已知量表示為

,

,

.

式可求出小球速度沿方向分量第一次為零的時刻,即,其中

.

此后,如果小球沿方向的振動沒有中斷,當(dāng)小球沿方向的振動到達最大振幅處時,式右端便等于零.然而,按式右端等于零所求出的其他時刻并不是滿足題意的解.因為在按式求出的豎直速度等于零的第二個時刻之前,小球?qū)⒑?/span>釘發(fā)生碰撞,碰撞時刻為

.

此刻,按兩式可知

.

這恰好是釘?shù)奈恢?/span>.這樣,小球?qū)⒃?/span>時和釘發(fā)生完全非彈性碰撞,碰撞后小球速度為零;由于碰撞過程時間極短,時刻就是小球速度沿方向分量第二次為零的時刻.碰撞后小球并不和釘粘連,所以小球?qū)⒀?/span>方向做一維的簡諧振動,由④式可知此振動周期為

.

每經(jīng)過半個振動周期,都會出現(xiàn)速度為零的情況(此時自然有.這樣,除式確定的前兩個特定時刻之外,每當(dāng)

時,小球速度都為零,因而其沿方向的速度分量也為零.

本題是第29屆全國高中物理競賽決賽試題.

振動問題由于較為容易地構(gòu)造出綜合模型,因此不論是復(fù)賽還是決賽,歷來都是命題的熱點區(qū)域.

在平時的訓(xùn)練中,對于正交的方向上的振動,我們討論較多的是平衡位置處于一點的情況,本題的命題人別出心裁地構(gòu)造了一個正交兩方向上振動的平衡位置不在一點的模型.雖然我們曾分別討論過類似于本題中水平方向與豎直的振動情形,但將它們合在一起進行討論,至少在此題之前,可能不曾有過,但對于優(yōu)秀的高中生而言,只要真正領(lǐng)會了振動的合成,本題的處理也不過是情境復(fù)雜一點、運算復(fù)雜一些而已.

額外說明一點:近年的高中物理競賽,不論是復(fù)賽還是決賽,對學(xué)生的運算能力的要求越來越高,運算量大是一種常態(tài),沒有過硬的運算能力,很難沖出重圍.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】讀圖“某城市規(guī)劃簡圖”,完成下列小題。

1圖例中甲、乙、丙、丁分別代表的功能區(qū)是

A. 甲——住宅區(qū) 乙——文教區(qū) 丙——工業(yè)區(qū) 丁——商業(yè)區(qū)

B. 甲——住宅區(qū) 乙——工業(yè)區(qū) 丙——文教區(qū) 丁——商業(yè)區(qū)

C. 甲——商業(yè)區(qū) 乙——住宅區(qū) 丙——工業(yè)區(qū) 丁——文教區(qū)

D. 甲——商業(yè)區(qū) 乙——文教區(qū) 丙——工業(yè)區(qū) 丁——住宅區(qū)

2若圖中工業(yè)區(qū)布局合理,則該地主導(dǎo)風(fēng)向最有可能是

A. 西北風(fēng)B. 東北風(fēng)

C. 東南風(fēng)D. 西南風(fēng)

3北京市二環(huán)路呈“凸”字形的主要影響因素是

A. 地形B. 地價

C. 氣候D. 歷史

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】讀經(jīng)緯網(wǎng)圖,完成下面小題。

1從B地到C地,若不考慮地形因素,最近的走法是

A. 一直向東

B. 先向東南,再向東,最后向東北走

C. 一直向西走

D. 先向東北,再向東南走

2緯線AB約是DE長度的

A. 一半B. 等長

C. 1.5倍D. 2倍

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】 用紙糊窗,是我國一項傳統(tǒng)民俗,它與當(dāng)?shù)丨h(huán)境聯(lián)系緊密。如圖示意我國北方某地10月份,居民正將刷過豆油,中間夾有麻繩的雙層紙,用面漿糊在外窗上,以保護木制窗欞不受雨雪腐蝕和風(fēng)吹日曬,延長使用壽命。

據(jù)此完成下面小題。

1如圖某地最可能在( 。

A.海河平原B.松嫩平原

C.渭河谷地D.河套地區(qū)

2北方該地流傳“九月不糊窗,九月糊窗小鬼往里望”的俗語,說明九月當(dāng)?shù)兀ǎ?/span>

A.氣溫高,紙易脫落B.造紙原料還未成熟

C.降水多,紙易受潮D.農(nóng)忙時節(jié)無暇顧及

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】徑流量是指一定時段內(nèi)通過河流某一斷面的水量,下圖示意我國某河流上游一氣象站近50年來月平均溫度和降水狀況以及4個水文站平均的月徑流量。讀圖回答下面小題。

1下列關(guān)于河流上游的敘述,正確的是

A.地下水補給量大B.結(jié)冰期約為3個月

C.年平均溫度約10℃D.植被覆蓋度較好

2該河流可能是

A.淮河B.海河C.黃河D.嫩江

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】 下圖為華北某城市示意圖,該市由a、b、c三個行政區(qū)組成,甲處為該市熱電廠,乙處為該市鋼鐵廠。鋼鐵廠規(guī)模在華北地區(qū)排名前列,近年來市民要求鋼鐵退城、向外搬遷的呼聲很高。

據(jù)此完成下面小題。

1該市的主導(dǎo)風(fēng)向最可能為

A.東北風(fēng)、西南風(fēng)B.南風(fēng)、北風(fēng)

C.東南風(fēng)、西北風(fēng)D.東風(fēng)、西風(fēng)

2鋼鐵退城將使a區(qū)

①居民收入普遍降低 ②住房價格有所上漲 ③交通出行更加便利 ④土地資源有所浪費

A.①②B.②③C.③④D.④①

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】下圖為非洲大陸局部區(qū)域某月份平均氣溫(單位:°C)分布圖。讀圖完成下列問題。

1控制圖中①②③三條等溫線基本走向及數(shù)值遞變的主導(dǎo)因素是

A. 地形 B. 洋流

C. 緯度 D. 海陸位置

2圖中R地的氣溫數(shù)值,可能是

A. 16 B. 20 C. 23 D. 27

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】讀我國1978—2007年三次產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)變動示意圖,完成下面小題。

11978-2007年期間我國( )

A.第一產(chǎn)業(yè)所占比重最小,并呈持續(xù)下降趨勢B.第二產(chǎn)業(yè)所占比重最大并迅速上升

C.第三產(chǎn)業(yè)比重呈波動上升趨勢D.第一、二、三產(chǎn)業(yè)均呈持續(xù)上升趨勢

21978-2007年期間我國處于( )

A.以傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)為主體的發(fā)展階段B.工業(yè)化發(fā)展階段

C.工業(yè)化衰落階段D.高效益綜合發(fā)展階段

31978-2007年期間我國的區(qū)域發(fā)展特點表現(xiàn)為( )

A.低水平均衡發(fā)展?fàn)顟B(tài)B.低水平不均衡發(fā)展?fàn)顟B(tài)

C.高水平均衡發(fā)展?fàn)顟B(tài)D.不均衡加速發(fā)展?fàn)顟B(tài)

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科目:高中地理 來源: 題型:

【題目】讀圖世界部分區(qū)域年等降水量線分布示意圖,完成下面小題。

1導(dǎo)致死海沿岸降水稀少的主要因素是( )

A.緯度位置B.海陸位置

C.地形D.植被

2以色列全國的生產(chǎn)、生活用水幾乎全部靠四通八達的地下輸水管道供給,主要目的是( )

A.避免污染B.減少蒸發(fā)

C.節(jié)約耕地D.降低成本

3以色列借助北水南調(diào)工程在南部發(fā)展灌溉農(nóng)業(yè),主要是為了利用當(dāng)?shù)貎?yōu)越的( )

A.光熱條件B.土壤條件

C.水源條件D.交通條件

4以色列耕地少,自然條件惡劣,但農(nóng)副產(chǎn)品60%用于出口,主要依靠的是( )

A.悠久的耕作歷史B.豐富的勞動力資源

C.先進的農(nóng)業(yè)科技D.廣闊的消費市場

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