Question

【題目】根據(jù)氣體分子動理論，容器內(nèi)的氣體分子不斷地往各個方向運動，也不斷地碰撞器壁，因而產(chǎn)生壓力。設容器內(nèi)單位體積所含的氣體分子數(shù)目為n，氣體分子的平均速率為，則在器壁上每單位面積每單位時間內(nèi)，氣體分子碰撞器壁的總數(shù)等于。當氣體的絕對溫度為Τ時，式中m為氣體分子的質(zhì)量，為波茲曼常數(shù)。一摩爾空氣的質(zhì)量為28.8g。

(1)如圖所示為保溫瓶的結構。瓶壁為一真空夾層，在室溫時被抽至壓力的真空，作為絕熱之用。設瓶壁的表面積為，瓶壁的熱發(fā)射率，室溫，現(xiàn)將1.0L，90℃的熱水倒入瓶內(nèi)，若經(jīng)由上蓋散失的熱量可以不計，估算瓶內(nèi)水的熱量散失率。

提示：保溫瓶夾層的外壁為室溫，內(nèi)壁則和熱水的溫度相同，夾層內(nèi)部的殘留氣體分子會和內(nèi)外壁碰撞，因而移轉熱量，故這一部分的氣體又稱為熱交換氣體。

(2)估算熱水從90℃冷卻至70℃需要的時。

提示：可能用到的積分公式。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

(1)瓶內(nèi)水的熱量散失主要有兩個來源：一是瓶壁的熱輻射；二是真空夾層內(nèi)殘留空氣的熱交換。

分別估算如下：①瓶壁的熱輻射

從較熱的內(nèi)壁傳到較冷的外壁的熱輻射功率為，

式中T為瓶內(nèi)的水溫，為室溫。

代入、、、和，計算得

。

②真空夾層內(nèi)殘留空氣的熱交換

夾層內(nèi)的氣體分子借由碰撞器壁而交換熱量。一個氣體分子先碰撞較熱的內(nèi)壁取得熱量后，再碰撞較冷的外壁而損失熱量，其凈散失的熱量為

，

式中為定容比熱。對空氣而言，。

單位時間內(nèi)碰撞器壁面積為Α的氣體分子數(shù)為，

故熱量的散失功率為，

式中，

。

代入已知的數(shù)據(jù)，計算得。

瓶內(nèi)水的熱量散失率為

。

(2)設瓶內(nèi)水的質(zhì)量為M，水的比熱為c，則在dt時間內(nèi)，瓶內(nèi)水所散失的熱功率為，導致水溫下降dT。由能量守恒定律可得

，

。

式中可近似如下：

。

由于，上式中的括號項可應用二項式展開，僅取的一次方項，即

。

于是有

。

積分后整理得。

代入數(shù)據(jù)得。

保溫瓶中的熱水從90℃冷卻至70℃,約需6小時15分鐘。