1．若集合P = { y?y = lg x，x＞1 }，Q = {－2，－1，1，2 }，則 (_RP )∩Q等于

A．{－2，－1，1，2 }               B．（－∞，0）

C．（0，+∞）                       D．{－2，－1 }

2．設(shè)a = log₃2，b = log₂3，，則

A．a(chǎn)＜b＜c       B．a(chǎn)＜c＜b     C．b＜a＜c       D．b＜c＜a

3．化簡：

A．i             B．－i          C．1             D．－1

4．若向量a =（1, m）和b =（2m + 3, －m）共線，其中m∈R，則?a－b?=

A．2或0        B．2         C．2或2      D．4或20

5．下列四個(gè)函數(shù)中，圖象如右圖所示的只能是

A．y = x + lg x（x＞0）     B．y = x－lg x（x＞0）

C．y =－x + lgx（x＞0）    D．y =－x－lg x（x＞0）

6．若實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件

則2x + 3y的最大值為

A．2          B．6         C．8          D．9

7．計(jì)算：=

A．1          B．－1       C．2          D．－2

8．已知直線a、b、c和平面a，則a∥b的一個(gè)必要不充分條件是

A．a⊥c且b⊥c              B．a∥c且b∥c

C．a∥a 且b∥a             D．a、b與a 所成角相等

9．從8名學(xué)生（其中男生6人，女生2人）中按性別用分層抽樣的方法抽取4人參加接力比賽，若女生不排在最后一棒，則不同的安排方法種數(shù)為

A．1440      B．960     C．720           D．360

10．△ABC中，角A滿足sin⁴A－cos⁴A≤cosA－sinA，則

A．0＜A≤                B．0＜A≤

C．≤A≤              D．≤A＜

11．若橢圓（a＞b＞0）的離心率，右焦點(diǎn)為F（c，0），方程ax² + 2bx + c = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x₁和x₂，則點(diǎn)P（x₁，x₂）到原點(diǎn)的距離為

A．     B．        C．2          D．

12．已知函數(shù)  給出函數(shù)f（x）的下列五個(gè)結(jié)論：

① 最小值為； ② 一個(gè)單增區(qū)間是（，）；③ 其圖象關(guān)于直線（k∈Z）對稱； ④ 最小正周期為2p； ⑤ 將其圖象向左平移后所得的函數(shù)是奇函數(shù)． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A．1          B．2           C．3          D．4

綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試

數(shù)  學(xué)（理科）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項(xiàng)：

1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中．

2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚．

題號

二

三

總分

總分人

總 分

復(fù)查人

17

18

19

20

21

22

分?jǐn)?shù)

得分

評卷人

13．等比數(shù)列 { a_n } 中，若a₁，a₇，a₄ 成等差數(shù)列，則數(shù)列{ a_n }的公比為              ．

14． 的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于              ．

15．已知不平行于x軸的直線y = kx + b（b＞0）與拋物線x² = 2py（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B到y軸的距離的差等于2k，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為              ．

16．設(shè)A、B、C是球面上三點(diǎn)，線段AB = 2，若球心到平面ABC的距離的最大值為，則球

的表面積等于              ．

得分

評卷人

17．（本題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．

（1）若sin C + sin（B－A）= sin 2A，試判斷△ABC的形狀；

（2）若△ABC的面積S = 3，且c =，C =，求a，b的值．

得分

評卷人

18．（本題滿分12分）

春暖大地，萬物復(fù)蘇．目前已進(jìn)入綠化造林的黃金季節(jié)，到處都能看到綠化工人（綠化員）和參加義務(wù)植樹的百姓植樹種草、綠化環(huán)境的身影．某8人（5男3女）綠化組，為了提

高工作效率，開展小組間的比賽，現(xiàn)分成A、B兩個(gè)小組，每個(gè)小組4人．

（1）求A、B兩組中有一組恰有一名女綠化員的概率；

（2）求A組中女綠化員人數(shù) x 的數(shù)學(xué)期望．

得分

評卷人

19．（本題滿分12分）

四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．ABCD是矩形，BC = 2 CD = 2．又 PA = PD，∠APD = 90°，E、G分別是BC、PE的中點(diǎn)．

（1）求證：AD⊥PE；

（2）求二面角E－AD－G的大��；

（3）求點(diǎn)D到平面AEG的距離．

得分

評卷人

20．（本題滿分12分）

已知函數(shù)，m∈R．

（1）若f（x）在（0，1 內(nèi)是減函數(shù)，求m的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使x在函數(shù)的定義域內(nèi)取任意值時(shí)，f (x)≤－3恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

得分

評卷人

21．（本題滿分12分）

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F（2，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，l₂交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，求的值．

得分

評卷人

22．（本題滿分14分）

（Ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，比較 ln（1 + x）與 x 的大�。�

（Ⅱ）已知數(shù)列 { a_n } 中，a₁ = 1，對任意n∈N^*，．

（1）當(dāng)n≥2時(shí)，求證：；

（2）試?yán)�用（Ⅰ）中的結(jié)論證明：a_n＜e²，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

綿陽市高中2009級第三次診斷性考試

數(shù)學(xué)（理科）參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)

DABC            BDAD            CBAC

13．q = 1或      14．－     15．（0，）   16．16p

17．（1）由題意得 sin（B + A）+ sin（B－A）= sin 2A，

sin B cos A = sin A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，

∴  cosA = 0 或 sin B = sinA A．                            …………… 4分

因A，B為三角形中的角，于是或B = A．

所以△ABC為直角三角形或等腰三角形．                       …………… 6分

（2）因?yàn)椤鰽BC的面積等于 3，所以 ，得 ab = 12．

由余弦定理及已知條件，得 a² + b²－ab = 13．

聯(lián)立方程組 解得或       …………… 12分

18．（1）設(shè)“A、B兩組中有一組恰有一名女綠化員”為事件A₁，

則 ．                                          …………… 4分

（2）x 可取0，1，2，3．                                       …………… 6分

，，

，，                …………… 10分

所以 ．                     …………… 12分

19．（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OE，于是OP⊥AD．

∵ 側(cè)面PAD⊥底面ABCD， ∴ OP⊥面ABCD．

∵ E是矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，

∴ OE∥AB，∴ OE⊥AD，從而 AD⊥PE．……… 4分

（2）取OE的中點(diǎn)F，連結(jié)FG，OG，則 FG∥OP，

∴ FG⊥面ABCD，AD⊥OG，

∴ ∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角．

∵ FG =OP =，OF =CD =，

∴ ∠GOE = 45°，即二面角E－AD－G的大小為45°．  …………… 8分

（3）由（1）知，O是AD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D到面AEG的距離等于點(diǎn)O到面AEG的距離h的2倍．

∵ V_P－AOE =S_△AOE×OP =×AO ?OE ? OP =．

又 AE = AP = PE =，∴ V_O－AEP =S_△AEP ? h =×? h =h,

從而由 V_P－AOE = V_O－AEP 得 h =，故點(diǎn)D到面AEG的距離等于．

…………… 12分

另解（2）  以O(shè)為原點(diǎn)，OE、OD、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，－1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），G（，0，），∴ ，1，），，1，）．

設(shè)平面ADG的一個(gè)法向量為n₁ =（x₁，y₁，z₁），

則  且 ，于是y₁ = 0，令 x₁ = 1，得 n₁ =（1，0，－1）．顯然平面ADE的一個(gè)法向量可以為n₂ =（0，0，1）．

∵ cos<n₁，n₂>==，∴ <n₁，n₂> = 135°．

由題圖可知二面角E－AD－G的大小為45°．

20．（1）函數(shù) f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

∵ ，

∴ 當(dāng) f（x）在（0，1 內(nèi)是減函數(shù)，有f ′（x）≤0，

即 ≤0，得m≥，由于此式對任意的x∈（0，1 成立，所以m≥0．                                                                …………… 6分

（2）當(dāng)m＞0時(shí)，若x→0，則f（x）→+∞，說明f（x）≤－3不恒成立，故m不能為正數(shù)．                                                             …………… 7分

當(dāng)m = 0時(shí)，f（x）=－，在x∈（0，+∞），也不能使f（x）≤－3恒成立，故m≠0．                                                                …………… 8分

當(dāng)m＜0時(shí)，因x∈（0，+∞），所以f（x）＜0．

假設(shè)f（x）≤－3恒成立，即≤－3，而 x＞0，則 m≤．

設(shè) g（x）=，x＞0，有g′（x）== 0，得 x = 4．

∵ 當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（4，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，

∴ g（x）在x = 4時(shí)取得最小值g（4）=－4，從而 m≤－4．…… 12分

21．（1）∵ 雙曲線的漸近線方程為，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．

所以雙曲線的方程為．                              …………… 3分

（2）① 當(dāng)直線l₁、l₂其中一條與x軸垂直，不妨設(shè)l₁⊥x軸時(shí)，

則，，，．

∴ ，，

∴ ．                                             …………… 5分

② 當(dāng)直線l₁、l₂都不與x軸垂直時(shí)，

設(shè)l₁：y = k（x－2），k≠0，則 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．         ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

綜合①②，得．                                   …………… 12分

22．（Ⅰ）設(shè)f（x）= ln（1 + x）－x，x＞－1．

則當(dāng)時(shí)，有x = 0．

∴ 當(dāng) f ′（x）＞0時(shí)，得－1＜x＜0，表明函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（－1，0）；當(dāng) f ′（x）＜0時(shí)，得x＞0，表明f（x）的減區(qū)間是（0，+∞），即函數(shù)f（x）= ln（1 + x）－x 在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴ f（x）＜ f（0），即 ln（1 + x）－x＜0，得 ln（1 + x）＜x（x＞0）．              …………… 4分

（Ⅱ）（1）要證，因?yàn)?sub>，則問題等價(jià)于只需證a_n＞2（n≥2）．

① 當(dāng)n = 2時(shí)，有 a₂ =，a_n＞2成立．   ………… 6分

② 假設(shè)當(dāng)n = k（k≥2）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k＞2，則當(dāng)n = k + 1時(shí)有

，結(jié)合歸納假設(shè)a_k＞2，

得＞2，所以a_k+1＞2．

由①②可知：當(dāng)n≥2時(shí)，有a_n＞2成立，也即．

…………… 9分

（2）a₁ = 1＜e²顯然成立．

∵ ，∴ ，

所以 ，n≥2．

又  ．

當(dāng)n≥2時(shí)，有，

，

…………

，

將上述n－1個(gè)不等式相加，得

．

因?yàn)?,

，

所以 ，即 ln a_n＜2，所以a_n＜e²．

…………… 14分

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