Question

（1）求右焦點坐標是（2，0），且經(jīng)過點（-2，-

2

）的橢圓的標準方程．
（2）已知橢圓C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點，AB的中點為M．證明：當直線l平行移動時，動點M在一條過原點的定直線上．
（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標出橢圓的中心．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)焦點坐標可求得c，進而可得a和b的關(guān)系，把點（-2，-

2

）代入橢圓方程，求得b，進而根據(jù)a=

b2+c2

求得a，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m且橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯(lián)立進而可得x₁+x₂和y₁+y₂的表達式，進而可得AB中點M的坐標進而可判定AB的中點M在過原點的直線b²x+a²ky=0上．
（3）作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∴a²=b²+4，即橢圓的方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1．
∵點（-2，-

2

）在橢圓上，
∴

4

b2+4

+

2

b2

=1．
解得b²=4或b²=-2（舍）．
由此得a²=8，即橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

（2）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
與橢圓C的交點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
y=kx+m，
則有

x2

a2

+

y2

b2

=1．
解得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
∵△＞0，∴m²＜b²+a²k²，
即-

b2+a2k2

＜m＜

b2+a2k2

．
則x₁+x₂=-

2a2km

b2+a2k2

，y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=

2b2m

b2+a2k2

，
∴AB中點M的坐標為（-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

）．
∴線段AB的中點M在過原點的直線b²x+a²ky=0上．
（3）解：如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關(guān)系．綜合考查了學生對橢圓性質(zhì)和利用韋達定理來解決橢圓與直線問題的掌握．