(本題滿分14分)如圖,α⊥β,α∩β=l, A∈α, B∈β,點(diǎn)A在直線l上的射影為A1, 點(diǎn)B在l的射影為B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
(Ⅰ) 直線AB分別與平面α,β所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1-AB-B1的余弦值.
解法一: (Ⅰ)如圖, 連接
A1B,
AB1, ∵α⊥β, α∩β=
l ,AA1⊥
l,
BB1⊥
l,
∴
AA1⊥β,
BB1⊥α. 則∠
BAB1,∠
ABA1分別是
AB與α和β所成的角.
Rt△
BB1A中,
BB1=,
AB=2, ∴sin∠
BAB1 = = . ∴∠
BAB1=45°.
Rt△
AA1B中,
AA1=1,
AB=2, sin∠
ABA1= = , ∴∠
ABA1= 30°.
故
AB與平面α,β所成的角分別是45°,30°. ……………………………… 6分
(Ⅱ) ∵
BB1⊥α, ∴平面
ABB1⊥α.在平面α內(nèi)過
A1作
A1E⊥
AB1交
AB1于
E,則
A1E⊥平面
AB1B.過
E作
EF⊥
AB交
AB于
F,連接
A1
F,則由三垂線定理得
A1F⊥
AB, ∴∠
A1FE就是所求二面角的平面角.
在
Rt△
ABB1中,∠
BAB1=45°,∴
AB1=
B1B=. ∴
Rt△
AA1B中,
A1B== = . 由
AA1·
A1B=
A1F·
AB得
A1F== = ,
∴在
Rt△
A1
EF中,sin∠
A1FE = = , ∴二面角
A1-
AB-
B1的余弦值.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如圖,建立坐標(biāo)系, 則
A1(0,0,0),
A(0,0,1),
B1(0,1,0),
B(,1,0).在
AB上取一點(diǎn)
F(
x,
y,z),則存在
t∈
R,使得=
t, 即(
x,
y,z-1)=
t(,1,-1), ∴點(diǎn)
F的坐標(biāo)為(
t,
t,1-
t).要使⊥,須·=0, 即(
t,
t,1-
t) ·(,1,-1)=0, 2
t+
t-(1-
t)=0,解得
t=, ∴點(diǎn)
F的坐標(biāo)為(,-, ), ∴=(,, ). 設(shè)
E為
AB1的中點(diǎn),則點(diǎn)
E的坐標(biāo)為(0,, ). ∴=(,-,).
又·=(,-,)·(,1,-1)= - - =0, ∴⊥, ∴∠
A1FE為所求二面角的平面角.
又cos∠
A1FE=" =" = = = ,
∴二面角
A1-
AB-
B1的余弦值. ……………………………… 14解析:
略