Question

如圖所示，光滑水平面上靜止放著長L=1.6m，質(zhì)量為M=3kg的木塊（厚度不計(jì)），一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物體放在木板的最右端，m和M之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，今對(duì)木板施加一水平向右的拉力F，（g取10m/s²）
（1）為使小物體不掉下去，F(xiàn)不能超過多少？
（2）如果拉力F=10N恒定不變，求小物體所能獲得的最大動(dòng)能？
（3）如果拉力F=10N，要使小物體從木板上掉下去，拉力F作用的時(shí)間至少為多少？

Answer 1

分析：（1）隔離對(duì)小物體分析，求出它的臨界加速度，再對(duì)整體分析，運(yùn)用牛頓第二定律求出拉力的最大值．
（2）若拉力F小于最大值，則它們最后一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，若拉力F大于最大值，知小物體與木板之間始終發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，小物體受到水平方向上只受摩擦力，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它滑離木板時(shí)，速度最大，根據(jù)兩者的位移差等于木板的長度，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)速度時(shí)間公式求出最大的速度，根據(jù)E=

1

2

mv²求出最大動(dòng)能．
（3）題中木板在恒力F的作用下由靜止開始向右加速運(yùn)動(dòng)，滑塊受摩擦力作用相對(duì)地面也向右勻加速滑動(dòng)，由牛頓第二定律求出木板的加速度大于滑塊的加速度．所以在力F作用時(shí)間內(nèi)木板的速度必大于滑塊的速度，若力F作用一段時(shí)間停止后，木塊繼續(xù)做勻加速運(yùn)動(dòng)，木板做勻減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者的速度恰好能夠相等并且木塊滑到木板最右端時(shí)達(dá)到下滑的臨界狀態(tài)，這時(shí)木塊相對(duì)于木板的位移為L，則力F作用在木板上的時(shí)間就是最短時(shí)間．對(duì)系統(tǒng)研究，根據(jù)動(dòng)量定理列出時(shí)間與速度的關(guān)系式，根據(jù)動(dòng)能定理列出木板滑行距離速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列出時(shí)間與木板滑行距離與時(shí)間的關(guān)系，再聯(lián)立求解時(shí)間．

解答：解：（1）物塊隨木板運(yùn)動(dòng)的最大加速度為a
對(duì)小物體由牛頓第二定律：μmg=ma，所以a=μg=0.1×10m/s²=1m/s²，
對(duì)整體由牛頓第二定律得：F_m=（M+m）a=（4kg+1kg）×1m/s²=4N；                                                                             
（2）因施加的拉力F＞4N，故物塊相對(duì)木板相對(duì)滑動(dòng)，木板對(duì)地運(yùn)動(dòng)的加速度為a₁，
對(duì)木板由牛頓第二定律：F-μmg=Ma₁                                  
物塊在木板上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，L=

1

2

a₁t²-

1

2

at²
解得：t=

1.6

s，
物塊脫離木板時(shí)的速度最大，v_m=at=1m/s²×

1.6

s=

1.6

m/s，
小物體所能獲得的最大動(dòng)能：
E=

1

2

mv²=

1

2

×1kg×（

1.6

m/s）²=0.8J；
（3）設(shè)木塊滑到木板最右端速度恰好與木板相同時(shí)，水平力作用的時(shí)間為t，相同速度v，此過程木板滑行的距離為s．
對(duì)系統(tǒng)：
根據(jù)動(dòng)量定理得
Ft=（M+m）v              ①
根據(jù)動(dòng)能定理得
Fs-μmgL=

1

2

（M+m）v² ②
又由牛頓第二定律得到木板加速運(yùn)動(dòng)的加速度為
a=

F-μmg

M

                ③
此過程木板通過的位移為s=

1

2

at²④
聯(lián)立上述四式得t=0.8s．
答：（1）為使物體與木板不發(fā)生滑動(dòng)，F(xiàn)不能超過4N；
（2）小物體所能獲得的最大動(dòng)能為0.8J；
（3）如果拉力F=10N，要使小物體從木板上掉下去，拉力F作用的時(shí)間至少為0.8s．

點(diǎn)評(píng)：本題是基本滑板模型問題，關(guān)鍵會(huì)判斷小物體和木板能否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，以及一旦發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，能夠根據(jù)受力判斷物體的運(yùn)動(dòng)．