Question

19．如圖所示，水平桌面上的一柱形薄壁容器底面積為S₁，內(nèi)盛有密度為ρ_液的某種液體后，容器及液體的總重為G₁，現(xiàn)用一彈簧測力計懸掛一長為L、底面積為S₂的柱形物體，將其緩緩進入薄壁容器的液體中（此過程中液體未溢出且柱體未浸沒）．圖2所示為彈簧測力計示數(shù)（浸入前示數(shù)未知）隨柱體底部浸入液體中深度變化的情況，請解答如下問題：

（1）寫出在此過程中，柱體所受浮力F_浮與其底部浸入液體深度h之間的關系式；
（2）寫出此柱形物體的密度；
（3）求出在此過程中薄壁容器對水平桌面的最大壓強．

Answer 1

分析 （1）知道柱體的底面積和浸入液體的深度，可表示出柱體排開液體的體積，利用阿基米德原理可得柱體所受浮力；
（2）由圖2可知，柱體浸入液體的最大深度為h₀，此時柱體所受浮力最大，利用阿基米德原理求出最大浮力；由圖象還可知，此時拉力為0，此時柱體處于漂浮狀態(tài)，利用漂浮條件求出物體的重力，可求出柱體的質(zhì)量，由已知條件可知物體的體積，根據(jù)密度公式求出柱形物體的密度；
（3）把容器、液體和柱體看作一個整體，受到向上的拉力F、向上的支持力F_支和向下的總重力，由力的平衡條件和相互作用力知識，可知容器對桌面的壓力等于G₁+G_物-F；容易判斷當柱體浸入深度為h₀時，拉力F=0，此時容器對水平桌面的壓力最大、壓強最大，然后利用p=$\frac{F}{S}$求出薄壁容器對水平桌面的最大壓強．

解答 解：
（1）當柱體底部浸入液體深度為h時，柱體排開液體的體積為：V_排=S₂h，
由阿基米德原理可得，柱體所受的浮力：F_浮=ρ_液gV_排=ρ_液gS₂h；
（2）由圖2可知，柱體浸入液體的最大深度為h₀，此時柱體所受浮力最大，
則最大浮力：F_浮最大=ρ_液gS₂h₀，
由圖2還可知，當柱體浸入深度為h₀時，拉力F=0，此時柱體處于漂浮狀態(tài)，
由漂浮條件可得，柱體的重力：G_物=F_浮最大=ρ_液gS₂h₀，
則柱體的質(zhì)量：m_物=$\frac{{G}_{物}}{g}$=$\frac{{ρ}_{液}g{S}_{2}{h}_{0}}{g}$=ρ_液S₂h₀，
由題可知，柱體的體積：V_物=S₂L，
所以，此柱形物體的密度：ρ_物=$\frac{{m}_{物}}{{V}_{物}}$=$\frac{{ρ}_{液}{S}_{2}{h}_{0}}{{S}_{2}L}$=$\frac{{ρ}_{液}{h}_{0}}{L}$；
（3）此過程中液體未溢出，把容器、液體和柱體看作一個整體，整體受到向上的拉力F、向上的支持力F_支和向下的總重力，由力的平衡條件可得：F+F_支=G₁+G_物，
壓力和支持力為相互作用力，其大小相等，則容器對水平桌面的壓力：F_壓=F_支=G₁+G_物-F，
當柱體浸入深度為h₀時，拉力F=0，由上式可知，此時容器對水平桌面的壓力最大，
則容器對水平桌面的最大壓力為：F_壓最大=G₁+G_物=G₁+ρ_液gS₂h₀；
所以，薄壁容器對水平桌面的最大壓強為：
p_最大=$\frac{{F}_{壓最大}}{{S}_{1}}$=$\frac{{G}_{1}+{ρ}_{液}g{S}_{2}{h}_{0}}{{S}_{1}}$．
答：（1）此過程中，柱體所受浮力F_浮與其底部浸入液體深度h之間的關系式為F_浮=ρ_液gS₂h；
（2）此柱形物體的密度為$\frac{{ρ}_{液}{h}_{0}}{L}$；
（3）在此過程中薄壁容器對水平桌面的最大壓強為$\frac{{G}_{1}+{ρ}_{液}g{S}_{2}{h}_{0}}{{S}_{1}}$．

點評 本題考查了浮沉條件、阿基米德原理的應用，以及密度、壓強的計算，能從圖象判斷出“當柱體浸入深度為h₀時，柱體處于漂浮狀態(tài)”是解答該題的關鍵，難點是求容器對水平桌面的最大壓力．