Question

11．如圖甲所示是液壓汽車起重機從水中打撈重物的示意圖，A是動滑輪，B是定滑輪，C是卷揚機，D是油缸，E是柱塞．通過卷揚機轉動使鋼絲繩帶動A上升，被打撈重物的體積是V=0.6m³．若在打撈前起重機對地面的壓強p₁=9×10⁶Pa，當物體在水中勻速上升時起重機對地面的壓強為p₂=1.2×10⁷Pa，重物完全出水后勻速上升時起重機對地面的壓強p₃=1.3×10⁷Pa．假設起重時E沿豎直方向，重物出水前、后E對吊臂的支撐力分別為N₁和N₂，重物出水前滑輪組的機械效率為90%，吊臂、定滑輪、鋼絲繩的重以及輪與繩的摩擦不計．（g取10N/kg）求：
（1）重物受到的浮力；
（2）動滑輪的重力；
（3）支撐力N₁和N₂之比．

Answer 1

分析 （1）知道物體的體積（浸沒水中排開水的體積），利用阿基米德原理求物體受到水的浮力；
（2）知道起重機對地面的壓強，利用壓強公式求的車重關系式；知道物體在水中勻速上升時起重機對地面的壓強，此時對地面的壓力等于車重加上物重減去浮力，可得壓力關系式；知道重物完全出水后勻速上升時起重機對地面的壓強，此時對地面的壓力等于車重加上物重，可得壓力關系式；三個關系式聯(lián)立方程組求出物體重，知道機械效率，利用$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$=$\frac{{G}_{物}-{F}_{浮}}{{G}_{物}-{F}_{浮}+{G}_{動}}$求動滑輪重；
（3）由杠桿平衡條件，對重物在水中勻速上升時、重物完全出水后勻速上升時列出關于支撐力的方程，求出支撐力N₁和N₂之比．

解答 解：
（1）重物受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gV=1×10³kg/m³×10N/kg×0.6m³=6×10³N；
（2）打撈前起重機對地面的壓力等于車的重力，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$可得：
G_車=F₁=p₁S=9×10⁶Pa×S，-------------①
物體在水中勻速上升時，起重機對地面的壓力等于車與物體的總重力減去浮力，
即G_車+G_物-F_浮=F₂=p₂S，
代入數(shù)據(jù)有：G_車+G_物-6×10³N=1.2×10⁷Pa×S，--------------②
重物完全出水后勻速上升時，起重機對地面的壓力等于車與物體的總重力：
即G_車+G_物=F₃=p₃S=1.3×10⁷Pa×S，--------------③
由①②③解得：G_物=2.4×10⁴N，
吊臂、定滑輪、鋼絲繩的重以及輪與繩的摩擦不計，動滑輪對物體的拉力做的功為有用功，克服動滑輪重力做的功為額外功，則重物出水前滑輪組的機械效率：
η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}}$=$\frac{{G}_{物}-{F}_{浮}}{{G}_{物}-{F}_{浮}+{G}_{動}}$，
即：90%=$\frac{2.4×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N}{2.4×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N+{G}_{動}}$，
解得：G_動=2×10³N；
（2）重物出水前、后吊臂的受力情況如下圖所示：

分析可知，物體在水中勻速上升時起，B端受到拉力等于物體與動滑輪的總重力減去物體所受浮力；
重物完全出水后勻速上升時，B端受到拉力等于物體與動滑輪的總重力；
由杠桿平衡條件可得：
N₁L₁=（G_物-F_浮+G_動）L₂----------④
N₂L₁′=（G_物+G_動）L₂′------------⑤
且根據(jù)幾何知識可得：$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}=\frac{{L}_{1}′}{{L}_{2}′}=\frac{OF}{OB}$--------⑥
則$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{{G}_{物}-{F}_{浮}+{G}_{動}}{{G}_{物}+{G}_{動}}$=$\frac{2.4×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N+2×1{0}^{3}N}{2.4×1{0}^{4}N+2×1{0}^{3}N}$=$\frac{10}{13}$．
答：（1）重物受到的浮力為6×10³N；
（2）動滑輪的重力為2×10³N；
（3）支撐力N₁和N₂之比為10：13．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對速阿基米德原理、杠桿的平衡條件、壓強公式、功率公式、效率公式的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識．