Question

12．如圖甲所示是某船廠設(shè)計(jì)的打撈平臺(tái)裝置示意圖．A是動(dòng)滑輪，B是定滑輪，C是卷?yè)P(yáng)機(jī)，ODB為可繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的吊臂，D為千斤頂對(duì)吊臂的支撐點(diǎn)，OD：DB=1：4，卷?yè)P(yáng)機(jī)C拉動(dòng)鋼絲繩通過(guò)滑輪組AB豎直提升水中的物體，可以將實(shí)際打撈過(guò)程簡(jiǎn)化為如圖乙所示的示意圖．在一次打撈沉船的作業(yè)中，在沉船浸沒(méi)水中勻速上升的過(guò)程中，打撈平臺(tái)浸入水中的體積相對(duì)于動(dòng)滑輪A未掛沉船時(shí)變化了0.9m³；在沉船全部露出水面并勻速上升的過(guò)程中，打撈平臺(tái)浸入水中的體積相對(duì)于動(dòng)滑輪A未掛沉船時(shí)變化了1.5m³．沉船浸沒(méi)在水中和完全露出水面后卷?yè)P(yáng)機(jī)對(duì)鋼絲繩的拉力分別為F₁、F₂，且F₁與F₂之比為5：8．鋼絲繩的重、軸的摩擦及水對(duì)沉船的阻力均忽略不計(jì)，動(dòng)滑輪的重力不能忽略．（水的密度取1.0×10³kg/m³  g取10N/kg）求：
（1）沉船的重力；
（2）沉船完全露出水面勻速上升的過(guò)程中千斤頂對(duì)吊臂的支撐點(diǎn)D的作用力
（3）沉船完全露出水面勻速上升的過(guò)程中和沉船未露出水面勻速上升的過(guò)程中，滑輪組AB的機(jī)械效率之差．

Answer 1

分析 （1）在沉船全部露出水面勻速上升的過(guò)程中，打撈平臺(tái)浸入水中的體積相對(duì)于動(dòng)滑輪A未掛沉船時(shí)變化了1.5m³，根據(jù)F_浮=ρgV_排求出打撈平臺(tái)增大的浮力，即為沉船的重力；
（2）在沉船浸沒(méi)水中勻速上升的過(guò)程中，打撈平臺(tái)浸入水中的體積相對(duì)于動(dòng)滑輪A未掛物體時(shí)變化了0.9m³；根據(jù)F_浮=ρgV_排求出打撈平臺(tái)增大的浮力，然后求出沉船受到的浮力；根據(jù)F=$\frac{1}{3}$（G+G_動(dòng)）求出動(dòng)滑輪的重力，進(jìn)而求出拉力F₂，再根據(jù)杠桿平衡條件可求沉船完全露出水面勻速上升的過(guò)程中千斤頂對(duì)吊臂的支撐點(diǎn)D的作用力．
（3）根據(jù)η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}(cāng)}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{Fnh}$=$\frac{G}{nF}$分別計(jì)算沉船完全露出水面勻速上升的過(guò)程中和沉船未露出水面勻速上升的過(guò)程中，滑輪組AB的機(jī)械效率，然11
后相減即可．

解答 解：
（1）在沉船全部露出水面勻速上升的過(guò)程中，打撈平臺(tái)浸入水中的體積相對(duì)于動(dòng)滑輪A未掛沉船時(shí)變化了1.5m³，
則打撈平臺(tái)增大的浮力：
F_浮=ρgV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×1.5m³=1.5×10⁴N，
即沉船的重力為G=1.5×10⁴N；
（2）在沉船浸沒(méi)水中勻速上升的過(guò)程中，打撈平臺(tái)浸入水中的體積相對(duì)于動(dòng)滑輪A未掛物體時(shí)變化了0.9m³；
則打撈平臺(tái)增大的浮力：
F_浮1=ρgV_排1=1×10³kg/m³×10N/kg×0.9m³=9×10³N；
所以沉船浸沒(méi)水中受到的浮力：
F_浮2=G-F_浮1=1.5×10⁴N-9×10³N=6×10³N；
根據(jù)受力分析可得，
沉船浸沒(méi)在水中勻速上升的過(guò)程中F₁=$\frac{1}{3}$[（G-F_浮2）+G_動(dòng)]，
沉船全部露出水面勻速上升的過(guò)程中，F(xiàn)₂=$\frac{1}{3}$（G+G_動(dòng)），
因?yàn)镕₁：F₂=5：8，
解得：G_動(dòng)=1000N，
則F₁=$\frac{1}{3}$[（G-F_浮2）+G_動(dòng)]=$\frac{1}{3}$[（1.5×10⁴N-6×10³N）+1000N]=$\frac{1}{3}$×1×10⁴N，
F₂=$\frac{1}{3}$（G+G_動(dòng)）=$\frac{1}{3}$（1.5×10⁴N+1000N）=$\frac{1}{3}$×1.6×10⁴N，
如圖，Rt△ODE△∽R(shí)t△OBA，
因?yàn)镺D：DB=1：4，則OD：OB=1：5，
所以，OE：OA=1：5，
根據(jù)杠桿的平衡條件可得，F(xiàn)_D×OE=F₂×OA，
則F_D=$\frac{{F}_{2}×OA}{OE}$=$\frac{{F}_{2}×5OE}{OE}$=5F₂=5×$\frac{1}{3}$×1.6×10⁴N≈2.67×10⁴N，
（3）由圖可知：n=3，
因?yàn)棣?$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}(cāng)}$=$\frac{Gh}{Fs}$=$\frac{Gh}{Fnh}$=$\frac{G}{nF}$，
所以，沉船未露出水面勻速上升的過(guò)程中，滑輪組AB的機(jī)械效率：
η₁=$\frac{G-{F}_{浮2}}{{3F}_{1}}$=$\frac{1.5×1{0}^{4}N-6×1{0}^{3}N}{3×\frac{1}{3}×1×1{0}^{4}N}$=90%．
沉船全部露出水面后勻速上升過(guò)程中，滑輪組AB的機(jī)械效率：
η₂=$\frac{G}{3{F}_{2}}$=$\frac{1.5×1{0}^{4}N}{3×\frac{1}{3}×1.6×1{0}^{4}N}$=93.75%，
則滑輪組AB的機(jī)械效率之差：η₂-η₁=93.75%-90%=3.75%．
答：（1）沉船的重力為15000N；  
（2）沉船完全露出水面勻速上升的過(guò)程中千斤頂對(duì)吊臂的支撐點(diǎn)D的作用力為2.67×10⁴N；
（3）滑輪組AB的機(jī)械效率之差為3.75%．

點(diǎn)評(píng) 此題是簡(jiǎn)單機(jī)械、浮力、杠桿、機(jī)械效率綜合計(jì)算題，同時(shí)涉及到數(shù)學(xué)上的相似三角形、解方程組等相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是各種計(jì)算公式的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是分析出船在水中的浮力變化和求解動(dòng)滑輪的重力，不但計(jì)算過(guò)程繁雜，而且難度很大．