Question

1．一個(gè)底面直徑為$\sqrt{2}$R、底面積為S的薄壁圓柱形容器放在水平地面上，容器內(nèi)裝有一定量的水．
①若容器內(nèi)水的質(zhì)量為2千克，求水的體積．
②求距離水面0.1米深處的液體內(nèi)部壓強(qiáng)．
③若在水中浸入一個(gè)正方體，正方體沉底后，液體深度變?yōu)閔，液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)的增加量為△p，為使△p達(dá)到最大，求該正方體的邊長(zhǎng)及液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)的增加量△p．（結(jié)果用ρ_水、S、R、h等字母表示）

Answer 1

分析 ①已知水的密度和水的質(zhì)量，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$即可求出水的體積；
②已知水的密度和水的深度，直接根據(jù)p=ρgh即可求出水面下0.1米深處水的壓強(qiáng)；
③根據(jù)p=ρgh可知，當(dāng)容器足夠深時(shí)水未溢出，此時(shí)水深度的變化量最大，根據(jù)△p=ρ_水g△h求出壓強(qiáng)的最大變化量；當(dāng)容器裝滿(mǎn)液體時(shí)放入甲物體后液體的深度不變、壓強(qiáng)不變，即△p=0，然后結(jié)合壓強(qiáng)的最大變化量和壓強(qiáng)的最小變化量求出水對(duì)容器底部壓強(qiáng)增加量的變化范圍．

解答 解：①由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的體積：
V=$\frac{m}{{ρ}_{水}}$=$\frac{2kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=2×10^-3m³；
②距離水面0.1米深處的液體內(nèi)部壓強(qiáng)：
p=ρ_水gh=1×10³kg/m³×9.8N/kg×0.1m=980Pa；
③根據(jù)p=ρgh可知，為使△P達(dá)到最大，物體排開(kāi)水的體積應(yīng)最大，所以正方體的邊長(zhǎng)最大；
由于薄壁圓柱形容器的底面直徑為$\sqrt{2}$R，
如圖1所示，根據(jù)勾股定理可知，正方體的邊長(zhǎng)最大為R；

正方體沉底后，若處于浸沒(méi)狀態(tài)（圖2的左圖），即R≤h，
由于物體對(duì)液體的壓力和液體對(duì)物體的浮力是一對(duì)相互作用力，
所以液體對(duì)容器底部的壓力增加量：
△F₁=F_浮1=ρ_水gV_排=ρ_水gV_物=ρ_水gR³，
所以，△p₁=$\frac{△{F}_{1}}{S}$=$\frac{{ρ}_{水}g{R}^{3}}{S}$；
正方體沉底后，若物體沒(méi)有浸沒(méi)（圖2的右圖），即R＞h，
則液體對(duì)容器底部的壓力增加量：
△F₂=F_浮2=ρ_水gV_排′=ρ_水ghR²，
則△p₂=$\frac{△{F}_{2}}{S}$=$\frac{{ρ}_{水}h{R}^{2}g}{S}$．
答：①水的體積為2×10^-3m³．
②距離水面0.1米深處的液體內(nèi)部壓強(qiáng)為980Pa．
③為使△p達(dá)到最大，該正方體的邊長(zhǎng)為R；
若R≤h，液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)的增加量△p₁=$\frac{{ρ}_{水}g{R}^{3}}{S}$；若R＞h，△p₂=$\frac{{ρ}_{水}h{R}^{2}g}{S}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查密度公式的應(yīng)用和液體壓強(qiáng)的計(jì)算，關(guān)鍵是圓柱形容器對(duì)容器底部的壓力的增加就等于物體排開(kāi)的水的重力．