Question

（2011?青島）歸納式探究--研究彈簧的剛性系數(shù)：
我們知道，彈簧受到的拉力越大，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度就越大．但是，用同樣大小的力去拉兩只不同的彈簧，伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度不同，這說(shuō)明彈簧有“軟”、“硬”之分，容易被拉伸的彈簧比較軟，反之比較硬．彈簧的軟硬用它的剛性系數(shù)來(lái)表示．剛性系數(shù)越大，彈簧越硬．
為了研究彈簧的剛性系數(shù)與哪些因素有關(guān)，通過(guò)有關(guān)實(shí)驗(yàn)探究，取得數(shù)據(jù)如下（其中：S為制造彈簧的金屬絲的橫截面積，n為彈簧的匝數(shù)，r為彈簧的半徑，A為彈簧的剛性系數(shù)）：

材料	S/m2	n	r/m	A/（N?m-1）
銅	3×10-6	100	1×10-2	90
鋼	3×10-6	100	1×10-2	180
銅	6×10-6	100	1×10-2	360
鋼	3×10-6	200	1×10-2	90
銅	6×10-6	100	2×10-2	45

（1）A=k

S2

nr3

，其中k與制造彈簧的材料有關(guān)，材料不同，k值一般不同．上述實(shí)驗(yàn)中鋼的k值k_鋼=

2×10⁹N/m²

（填上數(shù)值和單位）．將數(shù)據(jù)變成公式，運(yùn)用的是

等價(jià)變換

法．
（2）用粗細(xì)相同的銅絲做成半徑相同但匝數(shù)不同的彈簧，則彈簧的剛性系數(shù)和匝數(shù)的關(guān)系可以用圖象中的圖線(xiàn)

b

表示．
（3）如果用粗細(xì)相同的銅絲和鋼絲做成匝數(shù)和半徑相同的彈簧，都用1ON的力拉伸時(shí)，
用

銅

做成的彈簧變得更長(zhǎng)．
（4）用橫截面積為9×l0^-6m²的鋼絲制成一個(gè)60匝、剛性系數(shù)為100N/m的彈簧，則該彈簧的半徑為

3×10^-2

m．

Answer 1

分析：（1）實(shí)驗(yàn)中主要有四個(gè)變量，分別為材料、橫截面積、彈簧匝數(shù)和彈簧的半徑，根據(jù)控制變量法的要求，分別比較第2、4行數(shù)據(jù)，3、5行數(shù)據(jù)，4、6行數(shù)據(jù)，可分析出橫截面積、彈簧匝數(shù)和彈簧的半徑與A的關(guān)系，最終歸納出表達(dá)式，再利用表達(dá)式可計(jì)算出鋼的k值，這種方法叫做等價(jià)變換法；
（2）通過(guò)剛性系數(shù)的表達(dá)式，可以看出，在其他條件相同時(shí)，彈簧的匝數(shù)越多，其剛性系數(shù)越小，因此，b是符合題意的；
（3）通過(guò)表格可以看出銅與鋼誰(shuí)的剛性系數(shù)更大，再根據(jù)相同條件下，剛性系數(shù)越大的彈簧越難被拉伸這一規(guī)律可做出判斷；
（4）利用歸納得出的公式，將數(shù)據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算可得出彈簧的半徑．

解答：解：（1）根據(jù)控制變量法的要求，比較第2、4行數(shù)據(jù)可得，橫截面積S之比的平方，等于剛性系數(shù)A之比；比較第3、5行數(shù)據(jù)可得，彈簧的匝數(shù)n擴(kuò)大一倍，剛性系數(shù)A減小一半；比較第4、6行數(shù)據(jù)可得，彈簧的半徑r之比的立方，等于剛性系數(shù)A之比．綜合以上分析可得，A=k?

S2

nr3

；
選擇第3行數(shù)據(jù)代入公式A=k?

S2

nr3

得，180N/m=k?

(3×10-6m2)2

100×(1×10-2m2)3

，解得k=2×10⁹N/m²；
將數(shù)據(jù)變?cè)诠�式，這種方法叫做等價(jià)變換法．
（2）觀察圖象可知，a為成正比圖象，b是A隨彈簧匝數(shù)n的增加而減小，故圖象b與研究的數(shù)據(jù)結(jié)果相符；
（3）比較表格第2、3行中的剛性系數(shù)A可知，鋼的剛性系數(shù)大于銅的剛性系數(shù)，因此，在相同條件下，銅做成的彈簧會(huì)更容易被拉長(zhǎng)；
（4）由剛性系數(shù)的公式變形得，r=

3	KS2 An

，代入數(shù)據(jù)解得，r=3×10^-2m．
故答案為：（1）

S2

nr3

；2×10⁹N/m²；等價(jià)變換． （2）b．（3）銅． （4）3×10^-2．

點(diǎn)評(píng)：本實(shí)驗(yàn)中的變量比較多，在分析數(shù)據(jù)時(shí)，必須在保證其他變量不變的情況下，依次分析其中的一個(gè)變量與剛性系數(shù)之間的關(guān)系，最終綜合成公式的形式，這種歸納研究的方法稱(chēng)為等價(jià)變換；有了剛性系數(shù)的公式，剩余的問(wèn)題基本要從公式入手進(jìn)行分析和計(jì)算．