Question

2．如圖所示，薄壁輕質圓柱形容器甲和正方體乙置于水平地面上．容器甲高度為0.5米，底面積為1×10^-2米²，里面盛有0.2米深的水．正方體乙的質量為16千克，體積為8×10^-3米³．若將一底面積為5×10^-3米²的物體A分別輕輕放入容器甲的水中、放在正方體乙上表面的中央時，使水對容器甲底部壓強的變化量與正方體乙對水平地面壓強的變化量相等；求物塊A的密度ρ_A范圍及對應的體積V_A應滿足的條件．

Answer 1

分析 先求得物塊放入A容器后，水面上升的最大高度，根據(jù)液體壓強公式和固體的壓強公式分別表示出A放入甲和乙上壓強的變化，由變化的壓強相等的特點進行分析．應該分浸沒和不浸沒兩種情況討論．

解答 解：
已知A的底面積為5×10^-3m²，容器甲的底面積為1×10^-2m²，里面盛有0.2米深的水．
容器內水的體積為：
V_水=S_甲h_水=1×10^-2m²×0.2m=2×10^-3m³；
若A足夠大（足夠高），水面能夠上升到的最大高度為：
h_水最大=$\frac{{V}_{水}}{{S}_{甲}-{S}_{A}}$=$\frac{2×1{0}^{-3}{m}^{3}}{1×1{0}^{-2}{m}^{2}-5×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=0.4m；
由題意知，V_乙=8×10^-3m³，所以乙的邊長為0.2m，則S_乙=0.04m²，
甲、乙的底面積之比：$\frac{{S}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{1×1{0}^{-2}{m}^{2}}{0.04{m}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
已知水對容器甲底部壓強的變化量與正方體乙對水平地面壓強的變化量相等，
則由F=pS可得壓力變化量之比：$\frac{△{F}_{甲}}{△{F}_{乙}}$=$\frac{△{p}_{甲}{S}_{甲}}{△{p}_{乙}{S}_{乙}}=\frac{{S}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{1}{4}$，而△F_乙=G_A，
所以△F_甲=$\frac{1}{4}$△F_乙=$\frac{1}{4}$G_A=F_A浮，則A物體浸在水中時浮力小于重力；
故A物體在水中一定是下沉的，即ρ_A一定大于ρ_水；
①當A全部浸沒時，水上升的高度△h=$\frac{{V}_{A}}{{S}_{甲}}$，
則：△p_甲=ρ_水g△h=ρ_水g$\frac{{V}_{A}}{{S}_{甲}}$，
△p_乙=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{S}_{乙}}$，
由題意知：ρ_水g$\frac{{V}_{A}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{ρ}_{A}{V}_{A}g}{{S}_{乙}}$
前面已經推出$\frac{{S}_{甲}}{{S}_{乙}}$=$\frac{1}{4}$，所以ρ_A=4ρ_水=4×10³kg/m³；
又因為水能夠到達的最大高度為0.4m，則浸沒時物體的最大高度為0.4m，
所以V_A≤S_Ah_水最大=5×10^-3m²×0.4m=2×10^-3m³；
②當A沒有全部浸沒時，△h_水=0.4m-0.2m=0.2m；
V_A＞S_A×0.4m=5×10^-3m²×0.4m=2×10^-3m³；
由題意知：ρ_水g△h_水=$\frac{{m}_{A}g}{{S}_{乙}}$，
解得m_A=8kg，而V_A＞2×10^-3m³ ，
所以ρ_A＜4ρ_水，即ρ_A＜4×10³kg/m³，且要大于1.0×10³kg/m³．
答：物塊A的密度ρ_A范圍及對應的體積V_A應滿足的條件：
當A物體浸沒時，ρ_A=4×10³kg/m³ ，V_A≤2×10^-3 m³ ，
當A物體不浸沒時，1×10³kg/m³＜ρ_A＜4×10³kg/m³，V_A＞2×10^-3m³ ．

點評 此題考查了壓強公式的應用，本題需根據(jù)液體壓強公式列出方程求解，綜合性較強，有一定的難度．