如圖所示，有四個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從面積為4的正方形ABCD的頂點A，B，C，D同時出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A移動．

(1)證明四邊形PQEF是正方形；

(2)PE是否總過某一定點？說明理由；

(3)四邊形PQEF的頂點位于何處，其面積是否有最小值？最小值是多少？

已知矩形ABCD和點P，當(dāng)點P在如圖(1)中的位置時，則有結(jié)論：S_△PBC＝S_△PAC＋S_△PCD．理由：過點P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點．

∵S_△PBC＋S_△PAD＝BC·PF＋AD·PE＝BC(PF＋PE)＝BC·EF＝S_矩形ABCD，又∵S_△PAC＋S_△PCD＋S_△PAD＝S_矩形ABCD，

∴S_△PBC＋S_△PAD＝S_△PAC＋S_△PCD＋S_△PAD．∴S_△PBC＝S_△PAC＋S_△PCD．

請你參考上述信息，當(dāng)點P分別在圖(2)(3)中的位置時，S_△PBC、S_△PAC、S_△PCD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明．

如圖(1)、(2)，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上的一點，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動(點E不與點A，B重合)，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．

(1)如圖(1)，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE、EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是________；

②連結(jié)點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是________；

③請證明你的上述兩個猜想．

(2)如圖(2)，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE＝BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

閱讀以下材料并填空．

平面上有n個點(n≥2)，且任意三個點不在同一直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線？

(1)分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；當(dāng)有5個點時，可連成10條直線；……

(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S_n，發(fā)現(xiàn)：

(3)推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點A有n種取法，取第二個點B有(n－1)種取法，所以一共可連成n(n－1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2，即S_n＝．

(4)結(jié)論：S_n＝．

試探究以下問題：

平面上有n(n≥3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形，一共能作出多少不同的三角形？

(1)分析：當(dāng)僅有3個點時，可作________個三角形；當(dāng)有4個點時，可作________個三角形；當(dāng)有5個點時，可作________個三角形；……

(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)S_n，發(fā)現(xiàn)：

(3)推理：________；

(4)結(jié)論：________．

(1)如圖所示，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，請說明OE＝OF．

(2)對于上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其他條件不變，如下圖所示，請你想一想，結(jié)論“OE＝OF”還成立嗎？如果成立，請給予說明；如果不成立，請說明理由．

已知，△ABC是等邊三角形，將一塊含30°角的直角三角板DEF如圖放置，讓三角板在BC所在的直線上向右平移，當(dāng)點E與點B重合時，點A恰好落在三角板的斜邊DF上，問在三角板平移過程中，圖中是否存在與線段EB始終相等的線段(假定AB，AC與三角板斜邊的交點為G，H)？若存在，請指出這條線段，并證明，若不存在請說明理由．