科目： 來源：2004年全國中考數(shù)學試題匯編《圖形的相似》（05）（解析版） 題型：解答題

（2004•天津）已知A為⊙O上一點，B為⊙A與OA的交點，⊙A與⊙O的半徑分別為r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如圖1，過點B作⊙A的切線與⊙O交于M、N兩點．求證：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如圖2，若⊙A與⊙O的交點為E、F，C是弧EBF上任意一點，過點C作⊙A的切線與⊙O交于P、Q兩點，試問AP•AQ=2Rr是否成立，并證明你的結(jié)論．

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（2004•山西）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于點A和點B，且點O₁在⊙O₂上，過點A的直線CD分別與⊙O₁、⊙O₂交于點C、D，過點B的直線EF分別與⊙O₁、⊙O₂交于點E、F，⊙O₂的弦O₁D交AB于P．
求證：（1）CE∥DF；
（2）O₁A²=O₁P•O₁D．

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（2004•濟南）已知半徑為R的⊙O′經(jīng)過半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O′交于E、F兩點．
（1）如圖1，連接OO′交⊙O于點C，并延長交⊙O′于點D，過點C作⊙O的切線交⊙O′于A、B兩點，求OA•OB的值；
（2）若點C為⊙O上一動點．
①當點C運動到⊙O′時，如圖2，過點C作⊙O的切線交⊙O′，于A、B兩點，則OA•OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請說明理由；
②當點C運動到⊙O′外時，過點C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點，如圖3，則OA•OB的值與（1）中的結(jié)論相比較有無變化？請說明理由．

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（2004•連云港）（1）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點，EF∥AB，且EF交BC于點F，某學生在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：
①當時，有；
②當時，有；
③當時，有．
當時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明；
（2）現(xiàn)有一塊直角梯形田地ABCD（如圖所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要將這塊地分割成兩塊，由兩農(nóng)戶來承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等．請你給出具體分割方案．

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（2004•無錫）將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC邊交于點G（如圖）．
（1）如果M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M為CD邊上的任意一點，設AB=2a，問△CMG的周長是否有與點M的位置關(guān)系？若有關(guān)，請把△CMG的周長用含CM的長x的代數(shù)式表示；若無關(guān)，請說明理由．

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（2004•福州）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是DC中點，點F在BC邊上，且CF=1，在△AEF中作正方形A₁B₁C₁D₁，使邊A₁B₁在AF上，其余兩個頂點C₁、D₁分別在EF和AE上．
（1）請直接寫出圖中兩直角邊之比等于1：2的三個直角三角形（不另添加字母及輔助線）；
（2）求AF的長及正方形A₁B₁C₁D₁的邊長；
（3）在（2）的條件下，取出△AEF，將△EC₁D₁沿直線C₁D₁、△C₁FB₁沿直線C₁B₁分別向正方形A₁B₁C₁D₁內(nèi)折疊，求小正方形A₁B₁C₁D₁未被兩個折疊三角覆蓋的四邊形面積．

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（2004•臨沂）我們已經(jīng)知道，如果線段MN被點P分成線段MP和PN，且，那么稱線段MN被點P黃金分割，點P叫做線段MN的黃金分割點，MP與MN的比叫做黃金比．通過計算可知黃金比為．若一個矩形的短邊與長邊之比等于黃金比，則稱這個矩形為黃金矩形．已知圖中正方形ABCD的邊長為1，請你以AD為短邊，用尺規(guī)作一個黃金矩形，要求保留作圖痕跡并簡要寫出作法，不要求證明．

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（2005•玉林）如圖，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．
求證：DE=EC．

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（2004•濟寧）在一次數(shù)學活動課上，一位同學提出：“誰能幫我用一副沒有刻度的三角板找出線段AB的中點”小華說：“我能做到．我的做法是，用這副三角板任作一條直線MN∥AB；在直線AB、MN的同一側(cè)任取一點P，連接PA、PB，分別交直線MN于C、D；再連接AD、BC，相交于點E；畫射線PE交線段AB于點O，點O就是線段AB的中點．”你認為點O是線段AB的中點嗎？并說明理由．

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（2005•綿陽）如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，則不難證明S₁=S₂+S₃．
（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之間有什么關(guān)系；（不必證明）
（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S₁、S₂、S₃表示，請你確定S₁，S₂，S₃之間的關(guān)系并加以證明；
（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S₁，S₂，S₃表示，為使S₁，S₂，S₃之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應滿足什么條件證明你的結(jié)論；
（4）類比（1），（2），（3）的結(jié)論，請你總結(jié)出一個更具一般意義的結(jié)論．