Question

如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切線，B、C為切點．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）過點A的直線分別交⊙O₁、⊙O₂于點D、E，且DE是連心線時，直線DB與直線EC交于點F．請在圖中畫出圖形，并判斷DF與EF是否互相垂直，請證明；若不垂直，請說明理由；
（3）在（2）的其他條件不變的情況下，將直線DE繞點A旋轉（DE不與點A、B、C重合），請另畫出圖形，并判斷DF與EF是否互相垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：如圖1，過點A作⊙O₁和⊙O₂的內公切線交BC于點O，
∵OB、OA是⊙O₁的切線，
∴OB=OA．
同理OC=OA．
∴OB=OC=OA．
∴△ABC是直角三角形．
∴AB⊥AC．

（2）解：DF⊥EF．理由如下：
如圖1，∵⊙O₁和⊙O₂外切于點A，
∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA，
由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠FDA+∠FEA=90°，
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF；

（3）解：DF⊥EF．理由如下：
第一種情況：如圖2，
∵⊙O₁和⊙O₂外切于點A，
∴∠ABC=∠FDA，∠ACB=∠FEA．
由（1）得∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠FDA+∠FEA=90°．
∴∠DFE=90°，即DF⊥EF．
第二種情況：如圖3，
∵∠ACB=∠FEA，∠CBD=∠BAD，∠EDF=∠DBA+∠DAB，
∴∠EDF=∠ABC．
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠EDF+∠AEC=90°．
∴∠DFE=90°，即EF⊥DF．
分析：（1）作兩圓的內公切線，根據(jù)切線長定理，得到三角形一邊上的中線等于這邊的一半，從而證明直角三角形；
（2）根據(jù)弦切角定理，結合（1）中的結論進行證明；
（3）根據(jù)弦切角定理以及圓周角定理，和（1）中的結論即可證明．
點評：作兩圓的內公切線是外切兩圓中常見的輔助線之一．熟練運用弦切角定理、圓周角定理、切線長定理．注意一題多變的類型題的解法．