Question

如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的邊上，若AE=x，正方形EFGH的面積為y.

(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)正方形EFGH有沒(méi)有最大面積？若有，試確定E點(diǎn)位置；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=2x²-2ax+a²    (2) 有.當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積最大.

【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.

（1）先由AAS證明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根據(jù)勾股定理，求出EF²，即可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）先將（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式運(yùn)用配方法寫成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a米的正方形，

∴∠A=∠D=90°，AD= a米．

∵四邊形EFGH為正方形，

∴∠FEH=90°，EF=EH．

在△AEF與△DHE中，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

∴△AEF≌△DHE（AAS），

∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

∴y=EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2x²-2ax+ a²，

即y=2x²-2ax+ a²；

（2）∵y=2x²-2ax+ a²=2（x-）²+，

∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值．

故當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，面積最大．