Question

研究表明，某種情況下，高架橋上的車流速度V（單位：千米/時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，且當(dāng)0＜x≤30時，V=80；當(dāng)30＜x≤190時，V是x的一次函數(shù)．函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求當(dāng)30＜x≤190時，V關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若車流速度V不低于50千米/時，求當(dāng)車流密度x為多少時，車流量P（單位：輛/時）達(dá)到最大，并求出這一最大值．
（注：車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，計算公式為：車流量=車流速度×車流密度）

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖形有待定系數(shù)法可以直接求出V與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）（2）先有車流速度V不低于50千米/時得出x的范圍，然后求出P的表達(dá)式，繼而根據(jù)二次函數(shù)的最值求解方法可得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)30＜x≤190時，設(shè)V與x的函數(shù)表達(dá)式為v=kx+b，由函數(shù)圖象得

80=30k+b 0=190k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=95

，
∴V與x的函數(shù)表達(dá)式為：v=-

1

2

x+95；

（2）由題意得，V=-

1

2

x+95≥50，
解得：x≤90，
∵P=Vx=（-

1

2

x+95）x=-

1

2

x²+95x=-

1

2

（x-95）²+

1

2

×95²．，
a=-

1

2

＜0，拋物線開口向下，對稱軸為x=95，
當(dāng)0＜x≤90時，函數(shù)為增函數(shù)，即當(dāng)x=90時，P取得最大，
故P最大值為=-

1

2

×90²+95×90=4500．
答：當(dāng)車流密度達(dá)到90輛/千米時，車流量P達(dá)到最大，最大值為4500輛/時．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題需要我們會判斷二次函數(shù)的增減性及二次函數(shù)最值的求解方法，也要熟練待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．