Question

【問題】在正方形網(wǎng)格中，如圖（一），△OAB的頂點(diǎn)分別為O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以點(diǎn)O（0，0）為位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA′B′，放大后點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′．畫出△OA′B′，并寫出點(diǎn)A'、B'的坐標(biāo)：A′（

3

，

6

），B′（

6

，

-3

）；
（2）在（1）中，若點(diǎn)C（a，b）為線段AB上任一點(diǎn)，寫出變化后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)（

3a

，

3b

）；
【拓展】在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對應(yīng)點(diǎn)P'在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度θ，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．
【探索】如圖（二），完成下列問題：
（3）填空：如圖1，將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（

2

，

60°

）；
（4）如圖2，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A(

4

3

，90°)，得到△ADE，求線段BD的長．

Answer 1

分析：（1）利用已知畫出位似圖形，進(jìn)而得出A′，B′的坐標(biāo)即可；
（2）利用（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律得出即可；
（3）依題意已知1中△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，故可得A的坐標(biāo)．
（4）利用△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（

4

3

，90°），得到△ADE，可推出∠BAD=90°，利用勾股定理可求出BD的值．

解答：解：（1）∵以點(diǎn)O（0，0）為位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同側(cè)將△OAB放大為△OA′B′，
∴如圖所示：A′（3，6），B′（6，-3）；
故答案為：3，6；6，-3；

（2）根據(jù)（1）中規(guī)律可以得出：若點(diǎn)C（a，b）為線段AB上任一點(diǎn)，
故變化后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為：（3a，3b）；
故答案為：3a，3b；

（3）這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．已知1中△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，
故可得A（2，60°）．
故答案為：（2，60°）；

（4）已知△ABC旋轉(zhuǎn)相似變換A（

4

3

，90°），得到△ADE以及AD=

4

3

×3=4（cm），
可推出∠BAD=90°，
利用勾股定理可求出BD=

32+42

=5（cm）．

點(diǎn)評：此題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用相似變換的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．