Question

（2006•遼寧）如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．
（1）求△ABC所掃過的圖形的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，進而得出S_{平行四邊形ABFE}=2S_△EAF，故可求出△ABC掃過圖形的面積為S_{平行四邊形ABFE}；
（2）根據平移的性質，可得四邊形ABFE為菱形，故AF與BE互相垂直且平分；
（3）根據題意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，進而可得AC的長度．
解答：解：（1）連接BF，由題意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABFE}=2S_△EAF
∴△ABC掃過圖形的面積為S_{平行四邊形ABFE}=2×3=6；

（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，且AB=AE，
∴四邊形ABFE為菱形，
∴AF與BE互相垂直且平分．

（3）過點B作BD⊥CA于點D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°，BD=AB=AC．
∴BD•AC=3，
∴AC•AC=3．
∴AC²=12．
∴AC=2．
點評：本題考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知識結合求解．考查了學生綜合運用數學的能力．