Question

如圖，正方形ABCD中，P為對角線BD上一點（P點不與B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，連接EF，猜想AP與EF的關(guān)系并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答：AP⊥EF，AP=EF，
證明：延長FP交AB于M，延長AP交EF于N，
即四邊形MFCB為矩形，
所以MF=BC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，
∴MF=AB，
∵PF⊥DC，
∴∠PFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠PDF=45°，
∴∠PDF=∠DPF，
∴DF=PF=AM，
∵CD=BC=AB，
∴PM=BM=PE，AM=PF，
在△AMP和△FPE中，

∴△AMP≌FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠MAP，
∵∠FPN=∠MPA，
∴∠PNF=∠AMP=90°，
∴AP⊥EF．
分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)求出AM=PF，PM=PE，求出∠AMP=∠FPE=90°，證△AMP≌△FPE，推出AP=EF，∠PFE=∠MAP即可．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．