如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交BC于E,過(guò)C、E、D三點(diǎn)作圓交AE于G,CD、AE交于F點(diǎn).求證:AG=FG.
證明:連接DG.∵D、G、C、E四點(diǎn)共圓,∴∠BCD=∠DGE. ∵∠BCA=90°,且CD⊥AB,∴∠BCD=∠BAC. 即∠BAC=∠DGE.∵∠DGE=∠DAG+∠GDA, ∴∠BAC=∠DAG+∠GDA,∴AE平分∠BAC,∴∠DAE= ∵AG=GD.∵CD⊥AB,∴∠DFA+ ∵∠ADG+∠GDF=90°,∴∠GDF=∠DFG. ∴GD=GF,∴AG=GF. |
要證明結(jié)論AG=GF成立,即G是AF的中點(diǎn).因∠CDA是直角,那么AF是斜邊.這時(shí)只能借助斜邊的中線溝通它們之間的關(guān)系.但因連接DG后構(gòu)成兩個(gè)頂角是鄰補(bǔ)角的等腰三角形,所以必須溝通它們之間的角的關(guān)系,這樣圓內(nèi)接四邊形的作用就顯現(xiàn)出來(lái).因此要很好地體會(huì)圓內(nèi)接四邊形的作用,它溝通了圓內(nèi)、外圖形的關(guān)系. |
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