Question

問題提出：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

問題探究：不妨假設能搭成m種不同的等腰三角形，為探究m與n之間的關系，我們可以從特殊入手，通過試驗、觀察、類比，最后歸納、猜測得出結論．

探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

此時，顯然能搭成一種等腰三角形．所以，當n=3時，m=1

（2）用4根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒這一種情況，不能搭成三角形，所以，當n=4時，m=0

（3）用5根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，則不能搭成三角形

若分為2根木棒、2根木棒和1根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=5時，m=1

（4）用6根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，則不能搭成三角形

若分為2根木棒、2根木棒和2根木棒，則能搭成一種等腰三角形，所以，當n=6時，m=1

綜上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：

（1）用7根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三角形？

（仿照上述探究方法，寫出解答過程，并把結果填在表②中）

（2）分別用8根、9根、10根相同的木棒搭成一個三角形，能搭成多少種不同的等腰三

角形？（只需把結果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分別用11根、12根、13根、14根相同的木棒繼續(xù)進行探究，…

解決問題：用n根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？

（設n分別等于4k﹣1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整數，把結果填在表 ③中）

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m

問題應用：用2016根相同的木棒搭一個三角形（木棒無剩余），能搭成多少種不同的等腰三角形？（要求寫出解答過程）

其中面積最大的等腰三角形每個腰用了__________根木棒．（只填結果）

Answer 1

【考點】作圖—應用與設計作圖；等腰三角形的判定與性質．

【分析】探究二：

（1）周長為7，讓腰長從1開始逐個驗證即可；

（2）周長為8、9、10，方法同上；

解決問題：

問題的本質是，給定三角形的周長n，且n=2a+b，求滿足要求的a的整數解的個數m．因此，根據三角形三邊關系，我們將a的取值范圍用n表示出來，從而就可以確定n在取任意值時，a的整數解個數m；

任意一個整數，均可以表示成4k﹣1，4k，4k+1，4k+2四種形式當中的一種，讓n取這四種值，得出m的值填表；

問題應用：

（1）根據上面探究得出的一般結論，只需看2016符號哪種情況即可．n=2016=504×4，m=504﹣1=503；

（3）周長相同的情況下，等邊三角形面積最大；

【解答】解：探究二：

（1）7=1+1+5（舍去）；

7=2+2+3（符合要求）；

7=3+3+1（符合要求）；

（2）8=1+1+6（舍去）；

8=2+2+4（舍去）；

8=3+3+2（符合要求）；

9=1+1+7（舍去）；

9=2+2+5（舍去）；

9=3+3+3（符合要求）；

9=4+4+1（符合要求）；

10=1+1+8（舍去）；

10=2+2+6（舍去）；

10=3+3+4（符合要求）；

10=4+4+2（符合要求）；

填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解決問題：

令n=a+a+b=2a+b，

則：b=n﹣2a，

根據三角形三邊關系定理可知：

2a＞b且b＞0，

∴，

解得：，

若n=4k﹣1，則，a的整數解有k個；

若n=4k，則k＜a＜2k，a的整數解有k﹣1個；

若n=4k+1，則，a的整數解有k個；

若n=4k+2，則，a的整數解有k個；

填表如下：

n	4k﹣1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k﹣1	k	k

問題應用：

（1）∵2016=4×504，

∴k=504，

則可以搭成k﹣1=503個不同的等腰三角形； 

（2）當等腰三角形是等邊三角形時，面積最大，

∴2016÷3=672．

【點評】本題以一種探究的方式考查了腰三角形的性質、三角形三邊關系、整數解問題，命題新穎，視角獨特，是一道經典好題．探究過程中，體現從特殊到一般的歸納思想．掌握好等腰三角形性的基本性質及三角形三邊關系是解決本題的關鍵．