Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（0，2），點C（1，0），在拋物線y=

1

2

x2-

1

2

x-2上存在點B，使△ABC是以AC為直角邊的等腰直角三角形，這樣的點B有（　�。�

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,等腰直角三角形

專題：計算題

分析：先由A點和B點坐標得到OA=2，OC=1，作出以AC為直角邊作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，作NE⊥x軸于E，再證明△ACO≌△CNE，則CE=OA=2，NE=OC=1，可確定N點坐標為（3，1），同理可得M（-1，-1）、P點坐標為（-2，1）、Q點坐標為（2，3），然后把x=3，-1，-2，2代入拋物線的解析式，通過計算出的對應的函數(shù)值判斷點M、N、P、Q是否在拋物線上，從而確定滿足條件的B的個數(shù)．

解答：解：∵點A（0，2），點C（1，0），
∴OA=2，OC=1，
以AC為直角邊作等腰直角△ACN、△ACM、△ACP、△ACQ，如圖，
作NE⊥x軸于E，
∵∠ACN=90°，
∴∠ACO+∠NCE=90°，
而∠NCE+∠CNE=90°，
∴∠CNE=∠ACO，
在△ACO和△CNE中，

∠AOC=∠CEN ∠ACO=∠CNE AC=CN

，
∴△ACO≌△CNE（AAS），
∴CE=OA=2，NE=OC=1，
∴N點坐標為（3，1），
同理可得M（-1，-1）、P點坐標為（-2，1）、Q點坐標為（2，3），
當x=3時，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=1；當x=-1時，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=-1；當x=-2時，y=

1

2

x2-

1

2

x-2=1；當x=2時，y=

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2

x2-

1

2

x-2=-1；
∴點N、M、P在拋物線上，
∴滿足條件的B點有三個，即點B分別在點N、M、P處．
故選B．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了導尿管腰直角三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)．