Question

（2012•邯鄲二模）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點P為射線CA上的一個動點，以P為圓心，1為半徑作⊙P．
（1）連接PB，若PA=PB，試判斷⊙P與直線AB的位置關系，并說明理由；
（2）當PC為

4±

5

時，⊙P與直線AB相切？當⊙P與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為

4-

5

＜PC＜4+

5

；
（3）當⊙P與直線AB相交于點M，N時，是否存在△PMN為正三角形？若存在，求出PC的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰三角形的性質得出AD=BD，再利用勾股定理得出AB的長，進而得出PD的長，即可得出⊙P與直線AB的位置關系；
（2）分別利用當⊙P與直線AB相切于點M，以及當⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N，利用相似三角形的性質得出PC的長即可，進而得出當⊙P與直線AB相交時，PC的取值范圍；
（3）當△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形，利用cos30°=

PH

PN

，求出PH的長，進而得出PA，PC的長，同理可得出當⊙P交在BA的延長線部分時，PC的長．

解答：解：（1）如圖1，過點P作PD⊥AB于點D，
∵PA=PB，∴AD=BD，
在Rt△ACB中，AC=4，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，∴AD=

5

，
∵tan∠CAB=

PD

AD

=

BC

AC

，∴PD=

5

2

＞1，
∴⊙P與直線AB相離；               

（2）如圖2，當⊙P與直線AB相切于點M，連接PM，
則PM⊥AB，
∵∠CAB=∠CAB，∠AMP=∠C=90°，
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PM

BC

，
∵AB=2

5

，
∴

4-PC

2 5

=

1

2

，
解得：PC=4-

5

，
當⊙P′在線段CA的延長線上與直線AB相切于點N，連接PN，
則PN⊥AB，
∵∠NAP′=∠CAB，∠ANP′=∠C=90°，
∴△AP′N∽△ABC，
∴

AP′

AB

=

P′N

BC

，
∵AC=4，BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

5

，
∴

P′C-4

2 5

=

1

2

，
解得：P′C=4+

5

，
故當PC為4±

5

時，⊙P與直線AB相切，
則當⊙P與直線AB相交時，寫出PC的取值范圍為4-

5

＜PC＜4+

5

；
故答案為：4±

5

，4-

5

＜PC＜4+

5

；   

（3）如圖3，當⊙P和線段AB相交時，過點P作PH⊥AB于點H，
∵△PMN為正三角形，即△PMN是邊長為1的三角形；
∵cos30°=

PH

PN

=

PH

1

，
∴PH=

3

2

，
∵sin∠CAB=

PH

PA

=

CB

AB

，
∴PA=

15

2

，
∴PC=4-

15

2

；
當⊙P交在BA的延長線部分時，
過點P′作P′H′⊥AB于點H′，
∵△P′M′N′為正三角形，即△P′M′N′是邊長為1的三角形；
∵cos30°=

P′H′

P′N′

=

P′H′

1

，
∴P′H′=

3

2

，
∵sin∠CAB=sin∠P′AH′=

P′H′

P′A

=

BC

AB

，
∴P′A=

15

2

，
P′C=4+

15

2

．
綜上所述，PC=4-

15

2

或 PC=4+

15

2

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及銳角三角函數的應用和相似三角形的判定與性質等知識，根據數形結合進行分類討論得出是解題關鍵．