如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問題:
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關系為________,數量關系為________.
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖乙,①中的結論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過程)
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點D在線段BC上運動.且∠BCA=45°時,如圖丙請你判斷線段CF、BD之間的位置關系,并說明理由(要求寫出證明過程).
(1)①CF⊥BD,F(xiàn)C=BD.2分 ②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立.3分 證明:∵正方形ADEF, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠DAF=∠BAC, ∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD, 即:∠DAB=∠FAC, ∵AB=AC,AD=AF, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD,∠ACF=∠B,6分 ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°, 即CF⊥BD.8分 (2)當∠BCA=45°,CF⊥BD,9分 證明:過點A作AG⊥AC于A交BC于點G, ∴∠AGC+∠ACG=90°, ∵∠ACG=45°, ∴∠AGC=∠ACG=45°, ∴AC=AG, 與(1)②同理,CF⊥GD,即CF⊥BD.12分 |
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