Question

【題目】如圖，將邊長為4的正方形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在邊OA上從O向A運(yùn)動，連接CP交對角線OB于點(diǎn)Q，連接AQ．
（1）求證：△OCQ≌△OAQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ）時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在邊OA上從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)A后，再繼續(xù)在邊AB上從A運(yùn)動到點(diǎn)B，在整個(gè)過運(yùn)動過程中，若△OCQ恰為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形OCBA是正方形，

∴OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，

在△OCD和△OAD中 ，

∴△OCD≌△OAD（SAS），

（2）解：∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ， ），

∴OQ= ，

在正方形OABC中，BC∥OA，OC=BC=4，

∴OB=4 ，

∴BQ=OB﹣OQ= ，

∵BC∥OA，

∴△OQP∽△BQC，

∴ ，

∴ ，

∴OP=2，

∴P（2，0）；

（3）解：解：分為三種情況：

①OC=OD時(shí)，如圖1，

∴OD=4，

∵OB=4 ，

∴BD=OB﹣OD=4 ﹣4，

∵∠BOC=45°，

∴∠OCP=67.5°，

∴點(diǎn)P在AB上，

∵OC∥AB，

∴△ODC∽△BDP，

∴ ，

∴ ，

∴BP=4 ﹣4，

∴AP=AB﹣BP=4﹣（4 ﹣4）=8﹣4 ，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8﹣4 ）；

②CD=OD時(shí)，如圖2，

∵∠BOC=45°，

∴點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）；

③OC=CD時(shí)，

∴∠CDO=∠COD=45°．

∴∠OCD=90°，

∴點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，4）．

即滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，8﹣4 ）或（4，0）或（4，4）．

【解析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)推出OC=OA，∠COD=∠AOD=45°，根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）先求出OB，OQ，進(jìn)而判斷出△OQP∽△BQC，即可得出結(jié)論．（3）分為三種情況：①OC=OD時(shí)，②CD=OD時(shí)，③OC=CD時(shí)，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和相似求出即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．