Question

已知x是實數(shù)，并且x³+2x²+2x+1=0，則x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰⁰的值是

 

．

Answer 1

分析：首先對x³+2x²+2x+1=0，等號左邊通過拆分項、提取公因式、完全平方式因式分解，轉(zhuǎn)化為（x+1）（x²+x+1）=0．針對因式x²+x+1通過配方法證明其大于0，進而判定x+1=0，求得x的值為1．最后將x的值代入x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰⁰即可求得結(jié)果．

解答：解：∵x³+2x²+2x+1=0，
∴x（x²+2x+1）+（x+1），
=x（x+1）²+（x+1），
=（x+1）（x²+x+1）=0，
又∵x²+x+1=(x+ 

1

2

)2+

3

4

＞0，
∴x+1=0，即x=-1，
∴x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰⁰=（-1）¹⁹⁹⁴+（-1）¹⁹⁹⁷+（-1）²⁰⁰⁰=1-1+1=1．
故答案為1．

點評：本題考查高次方程、代數(shù)式求值、因式分解．解決本題的關(guān)鍵通過因式分解，降次轉(zhuǎn)化為一元二次方程與一次方程，進而求得x的值，原題得解．