Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（8，0）和B（0，6），再將△AOB沿直線CD折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，直線CD與x軸交于點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D．
（1）試確定直線AB的函數(shù)解析式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2，0）的直線l將△OBA的面積分成1：3？如果存在求出直線的解析式，不存在試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出直線AB解析式；
（2）連接BC，由折疊的性質(zhì)得到BC=AC，在直角三角形BOC中，設(shè)BC=AC=x，表示出OC=8-x，由OB=6，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OC的長(zhǎng)，即可得出C坐標(biāo)；
（3）存在，做出直線EF，與直線AB交于點(diǎn)F，作FG⊥x軸，根據(jù)題意得：S_△AEF=

3

4

S_△ABC或S_△AEF=

1

4

S_△ABC，求出FG長(zhǎng)，聯(lián)立直線EF與AB，消去y表示出x，進(jìn)而表示出y，根據(jù)縱坐標(biāo)為EF列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意的直線解析式．

解答：解：（1）將A（8，0）與B（0，6）代入一次函數(shù)解析式得：

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
則直線AB解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）連接BC，由折疊得到AC=BC，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△BOC中，設(shè)CB=CA=x，則有OC=OA-AC=8-x，
根據(jù)勾股定理得：BC²=OB²+OC²，即x²=（8-x）²+6²，
解得：x=

25

4

，
∴OC=8-x=

7

4

，即C（

7

4

，0）；

（3）存在，做出直線EF，與直線AB交于點(diǎn)F，作FG⊥x軸，
根據(jù)題意得：S_△AEF=

3

4

S_△ABC或S_△AEF=

1

4

S_△ABC，
即

1

2

AE•FG=

3

4

×

1

2

OA•OB或

1

2

AE•FG=

1

4

×

1

2

OA•OB，
由AE=OA-OE=8-2=6，OA=8，OB=6，
解得：FG=6或FG=2，
理由為：設(shè)過(guò)E的直線方程為y=a（x-2）=ax-2a，
與直線AB解析式聯(lián)立消去y得：ax-2a=-

3

4

x+6，
解得：x=

8a+24

4a+3

，
∴y=a（

8a+24

4a+3

-2）=6或2，
解得：a=-3或a=

3

5

，
則滿足題意的直線方程為y=-3x+6或y=

3

5

x-

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．