Question

9．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點M為直線y=mx在第一象限上一點，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如圖3，過點A（2，0）的直線y=kx-2k交y軸負半軸于點P，N點的橫坐標為-1，過N點的直線y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$交AP于點M．求$\frac{PM-PN}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）設直線AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程組，求出即可；
（2）當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，證△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐標即可；②當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，同法求出M的坐標；③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥x軸于N，MH⊥y軸于H，證△BHM≌△AMN，求出M的坐標即可．
（3）設NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點，求出H、G的坐標，證△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解答 解：（1）∵A（2，0），B（0，4），
設直線AB的解析式是y=kx+b，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=4，
∴直線AB的解析式是y=-2x+4．
（2）分三種情況：
①如圖1，

當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中$\left\{\begin{array}{l}{∠MNB=∠BOA}\\{∠NMB=∠ABO}\\{BM=AB}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐標為（4，6 ），
代入y=mx得：m=$\frac{3}{2}$，
②如圖2，

當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，
易知△BOA≌△ANM（AAS），
同理求出M的坐標為（6，2），
代入y=mx得：m=$\frac{1}{3}$，
③如圖4，

當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，
∴四邊形ONMH為矩形，
易知△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
設M（x₁，x₁）代入y=mx得：x₁=m x₁，
∴m=1，
答：m的值是$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{3}$或1．
（3）解：如圖，

設NM與x軸的交點為H，過M作MG⊥x軸于G，過H作HD⊥x軸，
HD交MP于D點，
即：∠MGA=∠DHA=90°，連接ND，ND 交y軸于C點
由y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$與x軸交于H點，
∴H（1，0），
由y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$與y=kx-2k交于M點，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A為HG的中點，AG=AH，∠MAG=∠DAH
∴△AMG≌△ADH（ASA），
∴AM=AD             
又因為N點的橫坐標為-1，且在y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$上，
∴N（-1，-k），
同理：D（1，-k），P（0，-2k），
∴N關(guān)于y軸對稱點為D，
∴PC是ND的垂直平分線，
∴PN=PD，ND平行于X軸，
易知△ADH≌△DPC，
∴AD=PD，
∴PN=PD=AD=AM，
∴$\frac{PM-PN}{AM}$=$\frac{3AM-AM}{AM}$=2．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次根式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．