Question

基本模型
如下圖，點(diǎn)B、P、C在同一直線上，若∠B=∠1=∠C=90°，則△ABP∽△PCD成立，
（1）模型拓展
如圖1，點(diǎn)B、P、C在同一直線上，若∠B=∠1=∠C，則△ABP∽△PCD成立嗎？為什么？
（2）模型應(yīng)用
①如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于點(diǎn)Q，求CQ的長；
②如圖3，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，當(dāng)P在何處時(shí)，線段CQ最長？最長是多少？

Answer 1

分析：（1）由∠A=180°-（∠B+∠APB）和∠CPD=180°-（∠1+∠APB），可得出∠B=∠1，則∠A=∠CPD，從而證明△ABP∽△PCD；
（2）①由四邊形ABCD是等腰梯形，則∠B=∠C，∠B=∠APQ=∠C，再由（1）知，△ABP∽△PCD，從而得出CQ；
②設(shè)BP=x，CQ=y．由∠B=∠APQ=90°，則△ABP∽△PCQ，再由相似三角形的性質(zhì)，得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，即y=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．

解答：解：（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；

（2）①∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴

CQ

BP

=

PC

AB

，
∴

CQ

1

=

3

2

，
∴CQ=

3

2

；
②設(shè)BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

CQ

BP

=

PC

AB

，即

y

x

=

1-x

1

，
∴y=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y_最大=

1

4

，
即當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時(shí)，CQ最長，最長為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題、正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．