Question

已知一元二次方程x²-4x+3=0的兩根是m，n且m＜n．如圖，若拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．根據(jù)圖象回答，當(dāng)x取何值時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方？
（3）點(diǎn)P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出方程的解，得到B、A的坐標(biāo)，代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出C的坐標(biāo)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出即可；
（3）設(shè)直線BC交PE于F，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a²-2a+3），根據(jù)三角形的面積求出F的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標(biāo)代入求出直線BC，把F的坐標(biāo)代入求出即可．
解答：解：（1）∵x²-4x+3=0的兩個(gè)根為  x₁=1，x₂=3，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），
又∵拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，
∴，
∴拋物線的解析式為  y=-x²-2x+3，
答：拋物線的解析式是 y=-x²-2x+3．

（2）作直線BC，
由（1）得，y=-x²-2x+3，
∵拋物線y=-x²-2x+3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，令-x²-2x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），
由圖可知：當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方，
答：當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，拋物線的圖象在直線BC的上方．

（3）設(shè)直線BC交PE于F，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a²-2a+3），
∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，
∴F是線段PE的中點(diǎn)（根據(jù)等底等高的三角形的面積相等），
即F點(diǎn)的坐標(biāo)是（a，），
∵直線BC過點(diǎn)B（0.3）和C（-3，0），
設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，代入得：，
∴
∴直線BC的解析式為y=x+3，
∵點(diǎn)F在直線BC上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)滿足直線BC的解析式，
即=a+3
解得  a₁=-1，a₂=-3（此時(shí)P點(diǎn)與點(diǎn)C重合，舍去），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0），
答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，0）．
點(diǎn)評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，解一元二次方程，解二元一次方程組，三角形的面積等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．