Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點E、F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC，下列結(jié)論：
①線段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC=2CD；④∠AFB=∠BCD
其中正確的個數(shù)為

1. A.
   0個
2. B.
   1個
3. C.
   2個
4. D.
   3個

Answer 1

D
分析：根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，作出輔助線，根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理對每一結(jié)論進(jìn)行證明即可得出答案．
解答：①∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC=90°，
∴∠ADC＞90°，
∴線段AC不為⊙O的直徑，
∴①錯誤，②正確；
③過F作FG⊥BC，
∵∠ACB=∠ADB，
又∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G為BC中點，∠GFC=∠BAD=∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC=∠DFC，F(xiàn)C=FC，∠ACB=∠ACD）．
∴CD=GC=BC．
∴BC=2CD，
∴③正確；
④∵∠BFC=∠BAD，
∠AFB=180°-∠BFC，
∠BCD=180°-∠BAD，
∴∠AFB=∠BCD
∴④正確；
其中正確的個數(shù)為3個．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理；用到的知識點為圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作出輔助線根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理對每一結(jié)論進(jìn)行證明．