Question

（1）求證：關(guān)于x的方程（n-1）x²十mx+1=0①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
關(guān)于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程①的一根的相反數(shù)恰好是方程②的一個(gè)根，求代數(shù)式m²n十12n的值．

Answer 1

分析：（1）①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即方程的判別式△=0，即可得到關(guān)于m，n的一個(gè)等式，求證②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明根的判別式△＞0．
（2）把（1）中根據(jù)①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即方程的判別式△=0，得到的關(guān)于m，n的一個(gè)等式，變形為用含m的代數(shù)式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根據(jù)若方程①的一根的相反數(shù)恰好是方程②的一個(gè)根，即可求解．

解答：（1）證明：由方程①得n-1≠0，m²-4×（n-1）=0．
∴m²=4（n-1）且m≠0，則n-1＞0．
方程②中△=4m²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=8m²（n+3）（n-1）．
∵n-1＞0．
∴△＞0．方程②必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）解：由m²=4（n-1），得n-1=

m2

4

．代入第一個(gè)方程，得

m2

4

x²+mx+1=0，解得x=-

2

m

．
把

2

m

代入第二個(gè)方程，得
m²×（

2

m

）²-2m×

2

m

-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．

點(diǎn)評(píng)：△＞0時(shí)，一元二次方程才有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．注意運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系使計(jì)算簡(jiǎn)便．