Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，△ABC 的頂點 A (-2,0),點 B，C分別在x軸和y軸的正半軸上,∠ACB=90°,∠BAC=60°

(1)求點 B 的坐標(biāo);

(2)點 P 為 AC延長線上一點，過 P 作PQ∥x軸交 BC 的延長線于點 Q ,若點 P 的橫坐標(biāo)為t，線段PQ的長為d，請用含t的式子表示d;

(3) 在（2）的條件下，當(dāng)PA=d時，E是線段CQ上一點，連接OE，BP，若OE=BP，求∠APB-∠OEB的度數(shù)．.

Answer 1

【答案】（1）B（6，0）；（2）d=4t；（3）∠APB-∠OEB=30°．

【解析】

（1）在三角形AOC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長，在直角三角形ABC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長，由AB-OA求出OB的長，即可確定出B的坐標(biāo)；

（2）如圖1所示，在直角三角形MCP中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半，由MP=t，表示出PC，在直角三角形QPC中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出PQ，即可得出d與t的關(guān)系式；

（3）如圖2所示，過E作GF⊥x軸，交x軸于點F，交PQ于點G，在直角三角形QCP中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出PC，由AP-PC表示出AC，根據(jù)已知AC的長求出d的值，確定出PC與PQ的長，在直角三角形PCB中，利用勾股定理求出PB的長，即為PE的長，設(shè)OF=GM=x，表示出GE，由GF-EG表示出EF，在直角三角形OEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OF=PC，再由OE=PB，利用HL得到直角三角形OEF與直角三角形PCB全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠EOF=∠APB，再利用外角性質(zhì)即可求出∠APB-∠OEB的度數(shù)．

（1）在Rt△AOC中，OA=2，∠BAC=60°，

∴∠ACO=30°，即AC=2OA=4，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴AB=2AC=8，即OB=AB-OA=8-2=6，

則B（6，0）；

（2）如圖1所示，

在Rt△MCP中，MP=t，∠MCP=30°，

∴CP=2MP=2t，

在Rt△CQP中，∠CQP=30°，CP=2t，

∴PQ=4t，即d=4t；

（3）如圖2所示，過E作GF⊥x軸，交x軸于點F，交PQ于點G，

在Rt△PQC中，∠CQP=30°，PQ=d，

∴CP=PQ=d，

∵AP=d，

∴AC=AP-CP=d=4，即d=12，

∴PQ=12，PC=6，MP=3，QM=9，

在Rt△CBP中，CP=6，BC=4，

∴PB=，

∴OE=PB=2，

在Rt△OEF中，設(shè)OF=GM=x，QG=9-x，

在Rt△QEG中，GE=（9-x），

∵MC=3，OC=2，

∴GF=OM=5，

∴EF=5-（9-x），

在Rt△OEF中，根據(jù)勾股定理得：x2+[5-（9-x）]2=（2）2，

解得：x=6，

∴OF=PC=6，

在Rt△OEF和Rt△PBC中，

，

∴Rt△OEF≌Rt△PBC（HL），

∴∠AOE=∠APB，

∵∠AOE=∠OEB+∠ABC=∠OEB+30°，即∠AOE-∠OEB=30°，

則∠APB-∠OEB=30°．