Question

若從矩形一邊上的點(diǎn)到對(duì)邊的視角是直角，即稱該點(diǎn)是直角點(diǎn)．例如，如圖的矩形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，連接AM、BM，∠AMB=90°，則點(diǎn)M為直角點(diǎn)．若點(diǎn)M、N分別為矩形ABCD的邊CD、AB上的直角點(diǎn)，且AB=4，BC=

3

，則MN的長(zhǎng)為

3

或

7

．

Answer 1

分析：作MH⊥AB于點(diǎn)H，利用已知得出△ADM∽△MCB，進(jìn)而得出

AD

MC

=

DM

BC

，求得構(gòu)造的直角三角形的兩條直角邊即可得出答案．

解答：解：作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MN
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠DAM=∠BMC
又∵∠D=∠C，
∴△ADM∽△MCB，
∴

AD

MC

=

DM

BC

，即

3

MC

=

4-MC

3

，
∴MC=1或3．
∵點(diǎn)M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB上的直角點(diǎn)，
∴AN=MC，
∴當(dāng)MC=1時(shí)，AN=1，NH=2，
∴MN²=MH²+NH²=（

3

）²+2²=7，
∴MN=

7

．
當(dāng)MC=3時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)H重合，即MN=BC=

3

，
綜上，MN=

7

或

3

．
故答案為：

7

或

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)和勾股定理，得出△ADM∽△MCB是解題關(guān)鍵．