精英家教網(wǎng)四個頂點都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內(nèi)接四邊形.如圖,四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形,且已知正方形ABCD的邊長為4.
(1)若點E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點,試求四邊形EFGH的面積;
(2)設(shè)AE=x,AH=y,請?zhí)接懏攛、y滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形.(要求寫出過程)
分析:(1)直接利用相似多邊形的性質(zhì),可知面積比等于相似比的平方可求得S□EFGH=2;
(2)四邊形EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接平行四邊形,要成為矩形的前提是四邊形EFGH必須是平行四邊形,則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得:△AEH≌△CGF,△AEH∽△BFE,所以根據(jù)成比例線段的關(guān)系可得到
y
x
=
4-x
4-y
,化簡即可得到x=y或x+y=4,即當x、y滿足x=y或x+y=4時,四邊形EFGH是矩形.
解答:解:(1)∵點E、F、G、H是正方形ABCD四邊中點,
∴□ABCD∽□EFGH,
∴S□ABCD:S□EFGH=BC2:EF2=2:1,
∴S□EFGH=2;

(2)由題意可知△AEH≌△CGF,
∴CF=AH=y,
∵△AEH∽△BFE,
AH
AE
=
BE
BF
y
x
=
4-x
4-y
,
化簡得:(x-y)(x+y-4)=0,
∴x=y或x+y=4,
∴當x、y滿足x=y或x+y=4時,四邊形EFGH是矩形.
點評:主要考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定及中位線的定理的綜合運用.
練習冊系列答案
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②用x的代數(shù)式表示矩形E2F2G2H2的面積S,并寫出S的取值范圍.(直接寫出結(jié)果)精英家教網(wǎng)

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