Question

（2009•常德）如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．

（1）當把△ADE繞A點旋轉到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（2）當△ADE繞A點旋轉到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的對應邊相等，所以CD=BE．
（2）可以證明△AMN是等邊三角形，AD=a，則AB=2a，根據(jù)已知條件分別求得△AMN的邊長，因為△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，所以面積比等于邊長的平方的比．
解答：解：（1）CD=BE．理由如下：（1分）
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，（3分）
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．（4分）

（2）△AMN是等邊三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分別是BE、CD的中點，
∴BM=BE=CD=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等邊三角形．（7分）
設AD=a，則AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC，
∴CE=DE．
∵△ADE為等邊三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°．（8分）
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
∴CD=a．
∵N為DC中點，
∴DN=，
∴AN=．（9分）
∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，
∴S_△ADE：S_△ABC：S_△AMN=a²：（2a）²：（）²=1：4：=4：16：7（10分）

解法二：△AMN是等邊三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，M、N分別是BE、CD的中點，
∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等邊三角形，（7分）
設AD=a，則AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，
易證BE⊥AC，
∴BE=，
∴EM=，
∴AM=，
∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，
∴S_△ADE：S_△ABC：S_△AMN=a²：（2a）²：（）²=1：4：=4：16：7．（10分）
點評：此題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質，勾股定理及旋轉的性質等知識的綜合運用及推理論證能力．