Question

（2006•杭州）杭州休博會(huì)期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進(jìn)一項(xiàng)大型游樂設(shè)施．若不計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)開放后每月可創(chuàng)收33萬元．而該游樂設(shè)施開放后，從第1個(gè)月到第x個(gè)月的維修保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y（萬元），且y=ax²+bx；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用稱為游樂場的純收益g（萬元），g也是關(guān)于x的二次函數(shù)；
（1）若維修保養(yǎng)費(fèi)用第1個(gè)月為2萬元，第2個(gè)月為4萬元．求y關(guān)于x的解析式；
（2）求純收益g關(guān)于x的解析式；
（3）問設(shè)施開放幾個(gè)月后，游樂場的純收益達(dá)到最大；幾個(gè)月后，能收回投資？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意確定x，y的兩組對應(yīng)值求y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)純收益g=開放后每月可創(chuàng)收33萬元×月數(shù)x-游樂場投資150萬元-從第1個(gè)月到第x個(gè)月的維修保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)y，列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）求函數(shù)最大值，及g＞0時(shí)，x的值，可確定回收投資的月份．
解答：解：（1）由題意得：x=1時(shí)y=2；
x=2時(shí)，y=2+4=6代入得：

解之得：
∴y=x²+x；

（2）由題意得：
g=33x-150-（x²+x）
=-x²+32 x-150；

（3）g=-x²+32 x-150=-（x-16）²+106，
∴當(dāng)x=16時(shí)，g_最大值=106，
即設(shè)施開放16個(gè)月后，游樂場的純收益達(dá)到最大，
又∵當(dāng)0＜x≤16時(shí)，g隨x的增大而增大；
當(dāng)x≤5時(shí)，g＜0；而當(dāng)x＞6時(shí)，g＞0，
∴6個(gè)月后能收回投資．
點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．